Sākums > Topics Table

Number Topic Name Description
1.0.0.0.0 Algebra Visi uzdevumi par algebru
1.1.0.0.0 Pārveidojumi un teksta uzdevumi Uzdevumi par skaitļiem, to darbībām un skaitliskām nevienādībām. Teksta uzdevumu pārrakstīšana, izveidojot algebrisku modeli; manipulācijas ar algebriskām izteiksmēm.
1.1.1.0.0 Identitātes Aritmētisku vai algebrisku identitāšu pamatošana vai lietošana izteiksmju pārveidojumos.
1.1.1.1.0 Darbības ar naturāliem skaitļiem Veselu skaitļu aritmētikas piemēri un aritmētiskas sakarības teksta uzdevumos un aprēķinos.
1.1.1.2.0 Darbības ar racionāliem skaitļiem Aritmētikas piemēri un sakarības teksta uzdevumos un aprēķinos, kur veic darbības ar racionālām daļām.
1.1.1.3.0 Pamatidentitāšu lietošana Summas kvadrāta formula \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\); kvadrātu starpība \(a^2 - b^2\); pakāpju īpašības, piemēram, \((a^m)^n = a^{mn}\).
1.1.1.4.0 Dažas nestandarta identitātes Augstāku pakāpju summa un starpība; Ņūtona binoms; S.Žermēnas identitāte; \(a^3+b^3+c^3-3abc\)
1.1.1.5.0 Pilnā kvadrāta atdalīšana Kvadrātiskas izteiksmes pārveidošana, lai pazustu lineārais saskaitāmais, piemēram, \(x^2 + px + q = (x+p/2)^2 + (q-p^2/4)\). Arī kā vispārīgs tehnisks paņēmiens citos uzdevumos.
1.1.2.0.0 Simetriskas un homogēnas izteiksmes Simetriskas izteiksmes un darbības ar homogēnām algebriskām izteiksmēm
1.1.3.0.0 Saistītās izteiksmes Algebriski pārveidojumi, piereizinot ar saistīto izteiksmi
1.1.4.0.0 Operācijas ar veselu skaitļu izteiksmēm Problems involving integer arithmetic, puzzles to fill in digits and operation signs, simple magic squares and other magic configurations.
1.1.5.0.0 Kompleksie skaitļi Darbības ar kompleksajiem skaitļiem algebriskajā, trigonometriskajā vai eksponenciālajā formā. Kompleksi saistītais skaitlis. Kompleksa skaitļa modulis. Kompleksu skaitļu kāpināšana. "Vieninieka saknes" kompleksajā plaknē.
1.1.6.0.0 Izteiksmju sadalīšana saskaitāmajos Racionālu daļu pārveidošana par summām vai starpībām, tsk. ieviešot nenoteiktos koeficientus.
1.1.7.0.0 Pakāpes, saknes un logaritmi Ceturtās pakāpes saknes, pakāpes ar racionālu kāpinātāju un logaritma īpašības; izteiksmju pārveidojumi, kas satur saknes, pakāpes un logaritmus.
1.1.8.0.0 Daļas, attiecības un procenti Daļas, attiecības, proporcijas un procenti (tsk. procentuālais palielinājums/samazinājums un salīdzinājums) aprēķinos un teksta uzdevumos.
1.2.0.0.0 Vienādojumi Algebras uzdevumi, kuros prasīts atrisināt vienādojumu vai noteikt vienādojuma sakņu skaitu. Uzdevumi, kuros jāpēta vienādojuma atrisinājuma eksistence, jāpierāda, ka eksistē atrisinājums vai ka tas neeksistē.
1.2.1.0.0 Vienādojumu sastādīšana Vārdiski formulētas prasības pārveidot par vienādojumiem, ieviešot burtu apzīmējumus pēc vajadzības.
1.2.2.0.0 Vienādojumu risināšana Uzdevumi, kur vienādojumus risina ar algebriskiem pārveidojumiem. Risināmie vienādojumi parasti ir reālos skaitļos (var būt rakstīts vienkārši "atrisināt vienādojumu", kas pats par sevi nozīmē, ka nav jāaprobežojas ar veseliem vai naturāliem skaitļiem).
1.2.2.1.0 Sadalīšana reizinātājos Vienādojumu dalīšana reizinātājos, tsk. izmantojot uzminētas saknes
1.2.2.2.0 Jaunu mainīgo ieviešana Vienādojumu risināšana ar substitūcijas metodi, apzīmējot apakšizteiksmes ar jauniem mainīgajiem.
1.2.2.3.0 Nevienādību lietošana vienādojumiem Vienādojumu risināšana un analīze, izmantojot zināmas nevienādības un novērtējumus (piemēram, parādot, ka viena puse vienmēr nav mazāka par otru).
1.2.2.4.0 Vienādojuma abu pušu pētīšana, uztverot tās kā funkcijas Parametrizēt vairāku mainīgo vienādojumu, pieņemot kādu no mainīgajiem par parametru; tad pētīt abas puses kā funkcijas no otra mainīgā.
1.2.2.5.0 Vienādojuma reducēšana uz vienādojumu sistēmu Vienādojuma atrisināšana, to pārrakstot kā ekvivalentu vienādojumu sistēmu.
1.2.2.6.0 Algebras pamatteorēma Algebras pamatteorēma reālo skaitļu variantā - ja \(n\)-tās pakāpes polinomam \(P(x)\) ir \(n\) saknes, tad to var izteikt kā vecākā koeficienta \(a_n\) reizinājumu ar pirmās pakāpes polinomiem \((x-x_i)\), kur \(x_i\) ir \(i\)-tā sakne. Un ja polinomam ir sakne \(x_i\), tātad tas dalās ar \(x-x_i\) bez atlikuma.
1.2.2.7.0 Eksponentvienādojumi un logaritmiskie vienādojumi Eksponentvienādojumu, logaritmisko vienādojumu un attiecīgo nevienādību risināšana, izmantojot eksponentfunkcijas un logaritmiskās funkcijas īpašības.
1.2.3.0.0 Vienādojumu pētīšana, tos neatrisinot Pamatojami apgalvojumi par vienādojumiem vai to saknēm (bet bez prasības atrast šīs saknes).
1.2.3.1.0 Kvadrātvienādojumu pētīšana Kvadrātvienādojumu analīze un secināšana, ja nav zināmi to koeficienti
1.2.3.1.1 Kvadrātvienādojuma atrisinājumu eksistences nosacījumi Par \(ax^2+bx+c=0\) saknēm secina, izmantojot diskriminanta zīmi: \(D=b^2-4ac\)
1.2.3.2.0 Vjeta formulu lietošana Vjeta formulas, kas saista polinoma saknes ar tā koeficientiem.
1.2.3.3.0 Dekarta likums Polinoma pozitīvo sakņu skaits vienāds ar zīmju maiņu skaitu polinoma koeficientos, vai arī ir mazāks nekā zīmju maiņu skaits par pāra skaitli
1.2.3.4.0 Matemātiskās analīzes metodes Reālās analīzes izmantošana algebras uzdevumos
1.2.3.4.1 Monotonitātes izmantošana Vienādojuma risināšana, nepārtraukti vai nelielos soļos palielinot vienu vai samazinot otru vienādojuma pusi
1.2.3.4.2 Nepārtrauktības izmantošana Vienādojumu risināšana, izmantojot funkciju nepārtrauktības īpašības.
1.2.3.4.3 Ekstrēmu vērtību izmantošana Vienādojumu risināšana, aplūkojot ekstrēmās vērtības
1.2.3.4.4 Integrāļa izmantošana Vienādojumu risināšana, izmantojot integrāļus un to īpašības.
1.2.3.4.5 Grafiku pielietošana Vienādojumu risināšana, izmantojot funkciju grafikus Dekarta koordinātēs.
1.3.0.0.0 Nevienādības Uzdevumi, kuros jāpierāda vai jāapgāž, ka vienmēr ir pareiza kāda nevienādība. Kā arī uzdevumi, kuros jārisina nevienādības kādam mainīgajam.
1.3.1.0.0 Ekvivalento pārveidojumu metode Pamatojamo nevienādību ķēdītes izrakstīšana tā, ka ikviena nākamā nevienādība ir ekvivalenta ar pirmo
1.3.2.0.0 Nevienādības pastiprināšanas metode Pamatojamo nevienādību ķēdītē nevienādības tiek pastiprinātas tā, lai no nākamās nevienādības sekotu iepriekšējās.
1.3.3.0.0 Absolūtās vērtības funkcijas īpašības Absolūtās vērtības funkcijas īpašību, piemēram, \(|a+b|\le|a|+|b|\), izmantošana nevienādību pamatošanā vai risināšanā.
1.3.4.0.0 Citu nevienādību izmantošana Zināmu nevienādību izmantošana, lai pierādītu citas nevienādības.
1.3.4.1.0 Vairāku nevienādību saskaitīšana vai reizināšana Vairāku nevienādību apvienošana, tās saskaitot vai sareizinot.
1.3.4.2.0 Košī-Buņakovska nevienādība Košī-Buņakovska-Švarca nevienādība \((\sum a_ib_i)^2 \le (\sum a_i^2)(\sum b_i^2)\) un tās lietojumi.
1.3.4.3.0 Čebiševa nevienādība Čebiševa summu nevienādība vienādi un pretēji sakārtotām virknēm.
1.3.4.4.0 Jensena nevienādība Jensena nevienādība izliektām un ieliektām funkcijām.
1.3.5.0.0 Ekstrēmu uzdevumi Algebras uzdevumi, kuros jāatrod lielākā vai mazākā iespējamā vērtība.
1.3.5.1.0 Ekstrēmu uzdevumu risināšana, izmantojot nevienādības Ekstrēmu meklēšana, izmantojot zināmas nevienādības.
1.3.5.1.1 Nevienādība starp vidējo aritmētisko un vidējo ģeometrisko Pozitīviem skaitļiem ģeometriskais vidējais nepārsniedz aritmētisko vidējo (vienādība t.t.t. ja visi skaitļi vienādi)
1.3.5.1.2 Nevienādības starp citiem vidējiem lielumiem Arī vidējais kvadrātiskais (QM), vidējais harmoniskais (HM) - nevienādības, kas tos saista ar AM un GM
1.3.5.2.0 Ģeometriskas interpretācijas lietošana Algebrisku nevienādību un ekstrēmu pamatošana ar ģeometriskām interpretācijām.
1.3.5.2.1 Lauztas līnijas garums Summu novērtēšana ar lauztas līnijas garumu: lauzta līnija nav īsāka par nogriezni, kas savieno tās galapunktus.
1.3.5.2.2 Attālumu summa Attālumu summu novērtēšana starp punktiem ģeometriski.
1.3.5.2.3 Laukums Algebrisku lielumu interpretēšana kā laukumus, lai iegūtu nevienādības.
1.3.5.3.0 Funkcijas vērtības pakāpeniska palielināšana Ekstrēma atrašana, parādot, ka jebkuru kandidātu var soli pa solim uzlabot.
1.3.5.4.0 Funkcijas aizstāšana ar to mažorējošu funkciju Nevienādības mazākās puses aizstāšana ar funkciju, kas ir tās augšējais novērtējums
1.3.5.5.0 Ekstrēma atrašana, konstruējot algoritmu tā meklēšanai Ekstrēma atrašana, konstruējot algoritmu tā meklēšanai.
1.3.5.6.0 Ekstrēma atrašana, lietojot zināmas funkcijas īpašības Ekstrēma atrašana, izmantojot zināmas funkciju īpašības (monotonitāti, izliektību, simetriju u.c.).
1.3.6.0.0 Algebrisku nevienādību risināšana Nevienādību atrisināšana kādam mainīgajam — visu vērtību kopas atrašana, kurām nevienādība izpildās.
1.3.6.1.0 Nevienādību risināšana ar pārveidojumiem Nevienādību risināšana ar ekvivalentiem algebriskiem pārveidojumiem, tsk. intervālu metodi.
1.3.6.2.0 Matemātiskā analīze nevienādību pamatošanā Funkciju pētīšana, monotonitāte, nepārtrauktība un citas analīzes metodes nevienādību pamatošanā.
1.3.6.2.1 Ekstrēma atrašana Nevienādību pamatošana, atrodot piemērotas funkcijas ekstrēmus.
1.3.6.2.2 Funkcijas monotonitāte Nevienādību pamatošana, izmantojot piemērotas funkcijas monotonitāti.
1.3.6.2.3 Integrāļa lietošana Nevienādību pamatošana, salīdzinot integrāļus, summas un laukumus zem grafikiem.
1.3.7.0.0 Nevienādību sistēmas; lineārā programmēšana Lineāru nevienādību sistēmas, pieļaujamie apgabali un lineāra mērķa optimizēšana (lineārā programmēšana).
1.4.0.0.0 Vienādojumu sistēmas Vienādojumu sistēmu risināšana un atrisinājumu eksistences analīze.
1.4.1.0.0 Lineāru vienādojumu sistēmas Lineāru vienādojumu sistēmu risināšana.
1.4.1.1.0 Vektoru sistēmu bāzes Lineāras telpas elementu izteikšana ar nedaudziem bāzes elementiem.
1.4.1.2.0 Lineāru sistēmu lietojumi Lineāru sistēmu lietojumi teksta uzdevumos un citās matemātikas nozarēs.
1.4.2.0.0 Nelineāras sistēmas Nelineāru vienādojumu sistēmu risināšana
1.4.2.1.0 Mainīgo izslēgšanas metode sistēmās Sistēmu risināšana, izslēdzot mainīgos (vienādojumus saskaitot, atņemot vai kombinējot).
1.4.2.2.0 Ievietošanas metode Vienādojumu sistēmu risināšana, izsakot mainīgos vai ievietojot zināmās vērtības.
1.4.2.3.0 Nevienādību pielietošana Vienādojumu sistēmu analīze, izmantojot zināmas nevienādības.
1.4.2.4.0 Speciālās ciklisko sistēmu risināšanas metodes Speciālas metodes ciklisku un simetrisku sistēmu risināšanai (piemēram, nezināmo sakārtošana, visu vienādojumu saskaitīšana).
1.4.3.0.0 Dažādas metodes Citas vienādojumu sistēmu risināšanas metodes.
1.5.0.0.0 Algebriski un analītiski tehniskie paņēmieni Uzdevumi, kuros jaunu mainīgo ievietošana, identiski pārveidojumi un arī nevienādību pastiprināšana ir būtiska atrisinājuma sastāvdaļa. Arī citas situācijas, kurās ievietojot piemērotas izteiksmes, var izmantot kādu zināmu rezultātu.
1.5.1.0.0 Pazemināšanas metode Uzdevuma reducēšana uz stingri mazāku tā paša uzdevuma gadījumu (bezgalīgā kritiena metode).
1.5.2.0.0 Risināšana no beigām Uzdevuma risināšana, sākot no prasītā beigu stāvokļa un spriežot atpakaļgaitā.
1.5.3.0.0 Algebriski procesi un operācijas Algebriskas procedūras risinājumos: saskaitīšana divos veidos, sadalīšana pāros, pārgrupēšana, gadījumu pārlase, mainīgo ieviešana.
1.5.3.1.0 Saskaitīšana divos veidos Metode, kas pierāda izteiksmju vienādību, pamatojot, ka to var saskaitīt divos veidos.
1.5.3.2.0 Sadalījums pāros vai grupās, bijekcijas Objektu sadalīšana pāros vai grupās, vai bijekcijas konstruēšana starp divām kopām.
1.5.3.3.0 Cita saskaitāmo vai reizinātāju pārgrupēšana Izteiksmes saskaitāmo vai reizinātāju pārgrupēšana citā noderīgā veidā.
1.5.3.4.0 Gadījumu pārlase Pilnīga iespējamo gadījumu pārlase.
1.5.3.5.0 Mainīgo ieviešana Jaunu mainīgo vai apzīmējumu ieviešana izteiksmju vienkāršošanai.
1.5.4.0.0 Iterācijas Operācijas vai funkcijas atkārtotas lietošanas (iterāciju) pētīšana.
1.5.5.0.0 Simetrija un involūcijas pārveidojumi Izteiksmju un vienādojumu simetriju un involūciju (pašinverso pārveidojumu) izmantošana.
1.6.0.0.0 Skaitļu virknes Aritmētiskā progresija. Ģeometriskā progresija. Rekurentas skaitļu virknes. Galīgas un bezgalīgas summas
1.6.1.0.0 Aritmētiskās un ģeometriskās progresijas Aritmētiskās un ģeometriskās progresijas, to vispārīgie locekļi un summas.
1.6.1.1.0 Vispārīgā locekļa un summas formulas Slēgtās formulas progresiju vispārīgajiem locekļiem un summām.
1.6.1.1.1 Summa \(1+2+\ldots+n\) Formula \(1+2+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}\) un lietojumi
1.6.1.1.2 Citu aritmētisku progresiju summas Patvaļīgas aritmētiskas progresijas summas formula un tās lietojumi.
1.6.1.1.3 Galīgas ģeometriskas progresijas summa Galīgas ģeometriskas progresijas summas formula.
1.6.1.1.4 Bezgalīgas ģeometriskas progresijas summa Bezgalīgi dilstošas ģeometriskas progresijas summa.
1.6.1.2.0 Rindu summu interpretācijas Rindu summu kombinatoriskas vai ģeometriskas interpretācijas.
1.6.1.3.0 Sadalīšana progresijās Virknes vai skaitļu kopas sadalīšana aritmētiskās vai ģeometriskās progresijās.
1.6.1.4.0 Progresiju locekļu decimālie cipari Apgalvojumi par progresiju locekļu decimālpieraksta cipariem.
1.6.1.5.0 Progresiju locekļu aritmētiskās īpašības Progresiju locekļu dalāmība un citas aritmētiskas īpašības.
1.6.1.6.0 Virknes locekļu starpības Izmantot spriedumus par dažu virkņu kaimiņu locekļu starpībām
1.6.1.6.1 Pilnu pakāpju starpības Pilnu kvadrātu atstarpes veido aritmētisku progresiju \(2k+1\)
1.6.1.6.2 Ģeometriskas progresijas locekļu starpības Izmantot to, ka \(2^n\) locekļu starpības aug ģeometriskā progresijā.
1.6.2.0.0 Rekurentas virknes Ar rekurentām sakarībām uzdotas virknes un to īpašības.
1.6.2.1.0 Rekurento virkņu sastādīšana un lietojumi skaitliska rezultāta iegūšanai Rekurentu sakarību sastādīšana un lietošana skaitliska rezultāta iegūšanai.
1.6.2.2.0 Fibonači skaitļi un to īpašības Fibonači virkne, tās identitātes, dalāmības un augšanas īpašības.
1.6.2.3.0 Rekurento virkņu augšanas novērtējumi Raksturīgie vienādojumi, pāreja uz homogēno virkni, nevienādības virknēm
1.6.2.4.0 Rekurento virkņu vispārīgo locekļu formulas Pāreja no rekurencēm uz slēgtām formulām
1.6.3.0.0 Periodiskums un neperiodiskums Virkņu periodiskuma pamatošana, arī izmantojot rekurentas sakarības
1.6.4.0.0 Monotonitāte Monotonas (augošas vai dilstošas) virknes un to īpašības.
1.6.5.0.0 Fragmentu atkārtošanās virkņu sistēmās Atkārtojošos fragmentu vai likumsakarību atrašana virkņu sistēmās.
1.6.6.0.0 Nevienādības patvaļīgām virknēm Nevienādības, kas izpildās patvaļīgām skaitļu virknēm.
1.6.7.0.0 Skaitļu virknes un vidējās vērtības Vidējās vērtības spriedumu lietošana skaitļu virknēm.
1.6.7.1.0 Uzdevumi, kuros jāpierāda, ka kāds process ir galīgs Uzdevumi, kuros jāpierāda, ka kāds process beidzas galīgā laikā.
1.6.7.2.0 Summas sadalīšana bezgalīgi daudzos saskaitāmajos Lieluma sadalīšana bezgalīgi daudzos saskaitāmajos, piemēram, ar bezgalīgu ģeometrisku progresiju.
1.7.0.0.0 Reālā analīze Nepārtrauktas funkcijas, reālās analīzes metodes, robežas, atvasinājumi, integrāļi
1.7.1.0.0 Nepārtrauktu funkciju pētīšana Reāla argumenta elementāro funkciju īpašības un grafiki.
1.7.1.1.0 Lineāras funkcijas Lineāru funkciju vienādojums \(y=ax+b\); krustojums ar \(y\) asi un virziena koeficients
1.7.1.2.0 Kvadrātiskas funkcijas Kvadrātfunkcija, tās grafiks (parabola), virsotne un ekstrēmu īpašības.
1.7.1.3.0 Eksponentfunkcija un logaritmiskā funkcija Eksponentfunkcijas un logaritmiskās funkcijas īpašības un grafiki; monotonitāte un augšanas salīdzināšana.
1.7.1.4.0 Funkciju grafiku pārveidojumi Funkciju \(y=f(x+a)\), \(y=f(x)+a\), \(y=kf(x)\), \(y=f(kx)\) grafiki; saliktas funkcijas un īpašību nolasīšana no grafika.
1.7.2.0.0 Robežas aprēķināšana Virkņu un funkciju robežu aprēķināšana.
1.7.2.1.0 Definīcija un pamatīpašības Robežas definīcija un tās pamatīpašības.
1.7.2.2.0 Teorēmas par robežām Teorēmas par robežām: robežu aritmētika, teorēma par ierobežošanu ("policistu teorēma"), monotonas ierobežotas virknes robeža.
1.7.2.3.0 Robežpāreja nevienādībās Robežpāreja nevienādībās.
1.7.2.4.0 Iteratīvi procesi Iteratīvu procesu robežas, tsk. iterētu funkciju nekustīgie punkti.
1.7.3.0.0 Summu aprēķināšana Paņēmieni galīgu un bezgalīgu summu aprēķināšanai.
1.7.3.1.0 Lineāru kombināciju veidošana Summu aprēķināšana, veidojot piemērotas zināmu summu lineāras kombinācijas.
1.7.3.2.0 Teleskopiskā metode Summu aprēķināšana ar teleskopisko metodi — locekļus izsakot kā starpības, lai vidusdaļas saīsinās.
1.7.3.3.0 Skaitīšana "turp-atpakaļ" Summas aprēķināšana, pierakstot to pretējā secībā un abus pierakstus saskaitot (Gausa paņēmiens).
1.7.3.4.0 Ābela formula Ābela summēšana (summēšana pa daļām) un tās lietojumi.
1.7.3.5.0 Veidotājfunkciju metode Veidotājfunkciju izmantošana summu aprēķināšanai un objektu skaitīšanai.
1.7.4.0.0 Atvasinājumi Funkcijas atvasinājums: aprēķināšanas likumi, pieskares, atvasinājuma lietošana funkciju monotonitātes un ekstrēmu pētīšanai.
1.7.5.0.0 Integrāļa pielietojumi Nenoteiktā un noteiktā integrāļa izmantošana — primitīvās funkcijas, Ņūtona-Leibnica formula, laukumi zem grafikiem.
1.7.6.0.0 Ekstrēmu uzdevumi Reālu funkciju ekstrēmu atrašana ar analīzes metodēm.
1.7.7.0.0 Dažādas skaitļu kopas Naturāli, veseli, racionāli, reāli skaitļi; reālu skaitļu kopas pilnība
1.7.7.1.0 Racionāli skaitļi un to īpašības Racionālu skaitļu īpašības: pieraksts ar daļām, blīvums, slēgtība pret aritmētiskajām darbībām.
1.7.7.2.0 Iracionāli skaitļi Rezultāti par skaitļu racionalitāti un iracionalitāti
1.7.7.3.0 Kvadrātiskie lauki Skaitļu lauki \(\mathbb{Q}[\sqrt{d}]\), kas rodas pievienojot racionāliem skaitļiem \(\sqrt{d}\)
1.7.8.0.0 Matemātiskās analīzes metodes Analītisku metožu lietošana citu veidu uzdevumos
1.7.8.1.0 Nepārtrauktības izmantošana Funkciju nepārtrauktibas īpašību izmantošana, tsk. teorēma par starpvērtību.
1.7.8.2.0 Samērojamības izmantošana Uzdevumi par skaitļu racionālām un iracionālām attiecībām, iespēju izteikt vienus skaitļus kā citu skaitļu lineāru kombināciju.
1.7.8.3.0 Monotonitātes un ierobežotības izmantošana Funkciju monotonitātes un ierobežotības izmantošana. Teorēma par monotonas un ierobežotas funkcijas robežu.
1.7.8.4.0 Mazo izmaiņu metode Konfigurācijas vai vērtības izmaiņu pētīšana pie ļoti mazām izmaiņām.
1.7.8.5.0 Citas analīzes metodes Citas matemātiskās analīzes metodes.
1.8.0.0.0 Funkcionālvienādojumi Funkcionālvienādojumi, viena argumenta funkciju un vairākvietīgu operāciju aksiomas un interpretācijas
1.8.1.0.0 Funkcionālvienādojumi veseliem un racionāliem skaitļiem Funkcionālvienādojumi funkcijām, kas definētas veselo vai racionālo skaitļu kopā.
1.8.1.1.0 Vienādojumu sistēmu veidošanas metode Vairāku argumentu vērtību ievietošana, lai iegūtu vienādojumu sistēmu nezināmās funkcijas vērtībām.
1.8.1.2.0 Nevienādību lietošana Nevienādību un novērtējumu izmantošana, lai noteiktu nezināmās funkcijas vērtības.
1.8.1.3.0 Reducēšanas metode Funkcionālvienādojuma reducēšana uz vienkāršāku, jau atrisinātu vienādojumu.
1.8.1.4.0 Modeļu veidošana Piemēru funkciju (modeļu) konstruēšana, kas apmierina vai neapmierina doto diskrēto funkcionālvienādojumu.
1.8.1.5.0 Lineāru rekurenču atrisināšana Rekurentās sakarības ar konstantiem koeficientiem un to atrisināšana
1.8.2.0.0 Reālu funkciju funkcionālvienādojumi Funkcionālvienādojumi reālo skaitļu kopā
1.8.2.1.0 Košī vienādojumi un vienādojumi, kas uz tiem reducējas Košī funkcionālvienādojumi (\(f(x+y)=f(x)+f(y)\) u.c.) un vienādojumi, kas uz tiem reducējas.
1.8.2.2.0 Elementāro funkciju funkcionālvienādojumi Klasisko elementāro funkciju raksturīgākie funkcionālvienādojumi un to pielietojumi
1.8.2.3.0 Palīgfunkcijas metode Palīgfunkcijas ieviešana (piemēram, \(g(x)=f(x)-x\)), lai vienkāršotu funkcionālvienādojumu.
1.8.2.4.0 Nevienādību lietošana Nevienādību un novērtējumu izmantošana reālu funkciju funkcionālvienādojumu risināšanā.
1.8.2.5.0 Nepārtrauktības īpašības izmantošana Nezināmās funkcijas dotās nepārtrauktības (vai monotonitātes) izmantošana tās noteikšanai.
1.8.2.6.0 Aditīvas funkcijas Funkcijas, kas apmierina \(f(x+y)=f(x)+f(y)\), un to īpašības.
1.8.2.7.0 Modeļu veidošana Piemēru funkciju (modeļu) konstruēšana, kas apmierina doto reālo funkcionālvienādojumu.
1.8.3.0.0 Vairākvietīgo operāciju aksiomātiskie apraksti Ar aksiomām (īpašību sarakstiem) uzdotas vairākvietīgas operācijas un spriešana par tām.
1.8.3.1.0 Vienu īpašību secināšana no citām Jaunu operācijas īpašību atvasināšana no dotajām aksiomām.
1.8.3.2.0 Operāciju viennozīmīga noteikšana Parādīšana, ka aksiomas viennozīmīgi nosaka operāciju.
1.8.3.3.0 Modeļu veidošana Operāciju aksiomu sistēmu modeļu (interpretāciju) konstruēšana — piemēri, kas parāda aksiomu saderību vai neatkarību.
1.9.0.0.0 Trigonometrija Trigonometriskas izteiksmes, identitātes, vienādojumi un funkcijas kā algebriski objekti (atšķirībā no metriskām sakarībām ģeometriskās figūrās).
1.9.1.0.0 Trigonometriskās identitātes Identitāte \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), argumentu summas un divkāršā argumenta formulas un citi trigonometrisku izteiksmju pārveidojumi.
1.9.2.0.0 Trigonometriskie vienādojumi un nevienādības Trigonometrisku vienādojumu un nevienādību risināšana, izmantojot vienības riņķi un trigonometrisko funkciju īpašības.
1.9.3.0.0 Trigonometriskās funkcijas Funkciju \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) īpašības un grafiki: periodiskums, ierobežotība, monotonitātes intervāli.
2.0.0.0.0 Kombinatorika Visi uzdevumi par kombinatoriku
2.1.0.0.0 Objektu skaitīšana Noskaidrot, cik veidos var izvēlēties pārstāvjus, cik veidos var izdarīt kādas specifiskas darbības. Noteikt, cik veidos var sakārtot kādas kopas vai apakškopas elementus.
2.1.1.0.0 Kopu elementu skaitīšana ar vienkāršu aritmētiku Reizināšanas, saskaitīšanas, atņemšanas un dalīšanas likumi.
2.1.1.1.0 Reizināšanas likums kombinatorikā Ja pirmajā solī ir \(a\) izvēles, bet otrajā solī (neatkarīgi no pirmā soļa) ir \(b\) izvēles, tad pavisam var veikt \(a \cdot b\) izvēles. (Kopu valodā - ja kopā \(A\) ir \(a\) elementi, bet kopā \(B\) ir \(b\) elementi, tad to Dekarta reizinājums \(A \times B\) satur visus pārīšus un šīs kopas elementu skaits ir \(a \cdot b\).)
2.1.1.2.0 Saskaitīšanas likums kombinatorikā Ja var izdarīt vai nu kādu no \(a\) dažādām izvēlēm vai kādu no \(b\) dažādām izvēlēm (bet nevar tās kombinēt), tad pavisam ir \(a+b\) izvēles. (Kopu valodā - ja \(A\) un \(B\) ir kopas bez kopīgiem elementiem, tad to apvienojumā \(A \cup B\) ir \(a+b\) elementi.)
2.1.1.3.0 Dalīšanas likums kombinatorikā. Reizināšanas likuma variants, ja to pašu elementu ieskaita atkārtoti. Šajā gadījumā reizināšanas likuma rezultātu dala ar to skaitu, cik reizes katrs elements ieskaitīts. (Piemēram, aprēķinot permutācijas ar atkārtojumiem, rezultātu dala ar atkārtojamo elementu faktoriāliem.)
2.1.1.4.0 Atņemšanas likums kombinatorikā. Kopu \(A\) un \(B\) starpībā \(A-B\) elementu skaits ir \(|A| - |A \cap B|\), t.i. tas samazinās par \(|A \cap B|\) jeb abu kopu šķēlumu.
2.1.2.0.0 Rekurento sakarību metode kombinatorikā Variantu skaitīšana, izmantojot rekurentas sakarības.
2.1.2.1.0 Lineārās rekurentās sakarības ar konstantiem koeficientiem Variantu skaitīšana, izmantojot homogēnas lineāras rekurences.
2.1.2.2.0 Lineārās rekurentās sakarības ar mainīgiem koeficientiem Variantu skaitīšana, izmantojot rekurences ar homogēno un nehomogēno daļu.
2.1.2.3.0 Nelineāras rekurentas sakarības Variantu skaitīšana, izmantojot nelineāras rekurences.
2.1.3.0.0 Pārlases organizācija Kopas elementu pārlasīšana sistemātiskā veidā.
2.1.4.0.0 Elementu skaitīšana kopu operācijās Elementu saskaitīšana kopu šķēlumos, apvienojumos, starpībās.
2.1.4.1.0 Eilera un Venna diagrammu izmantošana kopas aprakstam Eilera-Venna diagrammas, attēlojot dažādas kopu piederības kombinācijas.
2.1.4.2.0 Ieslēgšanas – izslēgšanas formula Ieslēgšanas izslēgšanas princips. Piemēram, divu kopu gadījumā \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\) un līdzīga kopu apvienojuma izteikšana ar dažādiem kopu šķēlumiem.
2.1.4.3.0 Cita kopu operāciju saskaitīšana Dažādu kopu operāciju aprēķināšana, pieskaitot un atņemot to šķēlumus vai apvienojumus.
2.1.5.0.0 Interpretāciju metode skaitīšanā Objektu saskaitīšana, izmantojot interpretāciju metodi - iekodējot elementus noteiktā veidā.
2.1.6.0.0 Paritāte un citi atlikumi interpretācijās ar skaitīšanu Atlikumu izmantošana kombinatoriskos interpretāciju uzdevumos.
2.1.7.0.0 Kombinatoriskie skaitļi un to īpašības Permutācijas, kombinācijas, variācijas ar un bez atkārtojumiem
2.1.8.0.0 Iekodētu virknīšu saskaitīšana Saskaitīt vai konstruēt kaut ko, aizpildot alfabētiskā secībā
2.1.8.1.0 Interpretācijas kombinatoriskajiem skaitļiem Teksta uzdevumi, kas noved pie kombināciju (permutāciju, variāciju) skaitīšanas
2.1.8.2.0 Kombinācijas ar atkārtojumiem Formula, kas izsaka, cik izlases ar \(k\) elementiem var izvēlēties no \(n\) elementiem, ja elementi izlasē drīkst atkārtoties, bet elementu secība izlasē nav svarīga.
2.1.8.3.0 Binomiālie un polinomiālie koeficienti Formulas, lai saskaitītu parastas kombinācijas \(C^k_n\) un arī kombinācijas ar atkārtojumiem. Lietojumi Ņūtona formulā \((a+b)^n\) un arī polinomiālajā formulā, atverot iekavas garāku izteiksmju pakāpēm.
2.1.9.0.0 Variantu saskaitīšana, izmantojot simetriju Variantu saskaitīšana izmantojot simetriju kopā ar dalīšanas likumu simetrijas dēļ atmetot daļu variantu. To var izmantot arī interpretācijās. Piemēram, lai pamatotu Mazo Fermā teorēmu (\(a^p - a\) dalās ar \(p\)), iztēlojamies \(a^p\) kā dažāda veida kreļļu krāsojumu saskaitīšanu, kur \(a\) ir pērlīšu krāsu skaits, bet \(p\) ir pērlīšu skaits cikliskā krellē. Tad ir tieši \(a\) vienkrāsainās krelles, bet pārējām ir jādalās ar \(p\), jo tās veido simetriskas apakškopas ar izmēru \(p\).
2.2.0.0.0 Grafu uzdevumi Uzdevumi, kuros ir dots skaits objektu, starp katriem diviem no tiem var būt vai nebūt attiecība. Uzdevumi par draudzībām, pazīšanos, ceļiem starp pilsētām, saziņu ar vēstulēm vai pa telefonu.
2.2.1.0.0 Matemātisku objektu interpretācijas ar grafiem Bināru attiecību, svēršanas uzdevumu vai turnīru attēlošana ar grafiem.
2.2.2.0.0 Uzdevumi par virsotnes pakāpi jeb kārtu. Apgalvojums: Katrā grafā ir divas virsotnes ar vienādu kārtu.
2.2.2.1.0 Virsotne ar maksimālo kārtu Apgalvojumi, kuros izvēlas virsotni ar lielāko kārtu, lai iegūtu novērtējumus.
2.2.2.2.0 Rokasspiedienu lemma Visu grafa virsotņu kārtu summa ir \(2|E|\), kur \(E\) apzīmē visu šķautņu kopu.
2.2.2.3.0 Teorēma par to, ka eksistē apakšgrafs ar noteiktu minimālo virsotnes kārtu Katrs grafs \(G\), kurā vidējā virsotnes kārta ir vismaz \(d\), satur apakšgrafu, kurā minimālā virsotnes kārta ir vismaz \(\lfloor d/2 \rfloor\).
2.2.3.0.0 Orientēti grafi Orientēti grafi (grafa šķautnēm ir noteikts virziens, ko apzīmē, piemēram, ar bultiņu).
2.2.3.1.0 Binārās attiecības Starp vienas kopas elementu pāriem definētās attiecības
2.2.3.1.1 Bināro attiecību refleksivitāte Binārā attiecība \(R\) ir refleksīva, ja katram \(a \in X\) izpildās \(aRa\): katrs elements ir šajā attiecībā pats ar sevi. Piemēram, katrs skaitlis \(a\) izpilda \(a \leq a\) (skaitlis ir mazāks vai vienāds pats ar sevi).
2.2.3.1.2 Bināro attiecību simetrija Binārā attiecība \(R\) ir simetriska, ja katriem \(a,b \in X\) ir spēkā attiecība \(aRb\) tad un tikai tad, ja \(bRa\). (Piemēram, ja pirmais paspieda roku otrajam, tad arī otrais paspieda roku pirmajam.)
2.2.3.1.3 Bināro attiecību transitivitāte Binārā attiecība \(R\) ir transitīva, ja katriem \(a,b,c \in X\), no \(aRb\) un \(bRc\) vienmēr seko arī \(aRc\). Piemēram, ja cilvēks \(a\) ir sencis cilvēkam \(b\), bet \(b\) ir sencis priekš \(c\), tad \(a\) ir sencis arī priekš \(c\).
2.2.3.1.4 Pilna sakārtojuma attiecības Binārā attiecība \(R\) ir pilna sakārtojuma attiecība, ja tā ir refleksīva, pilna (ir spēkā vai nu \(aRb\) vai \(b\)), antisimetriska (no \(aRb\) un \(bRa\) loģiski seko \(a=b\)) un transitīva. Pilna sakārtojuma attiecība skaitļu kopā ir, piemēram, \(\leq\) ("mazāks vai vienāds" jeb "nepārsniedz").
2.2.4.0.0 Ceļi un cikli grafos Ceļš kā savstarpēji savienojamu šķautņu virkne. Vienkāršs ceļš - tāds, kurā nekādām divām šķautnēm nav kopīgu virsotņu (izņemot tās virsotnes, kur viena šķautne virknē savienota ar nākamo šķautni).
2.2.4.1.0 Eilera cikla eksistence Eilera cikls grafā iespējams tad un tikai tad, ja grafs ir sakarīgs un tajā katras virsotnes kārta ir pāra skaitlis. (Eilera ceļš, kuram nav jābeidzas tajā pašā punktā, kur tas sācies, pietiek, lai visu, izņemot divu virsotņu kārtas ir pāra skaitļi.)
2.2.4.2.0 Hamiltona cikla eksistence Hamiltona cikla nepieciešamie nosacījumi.
2.2.4.3.0 Grafa šķautņu sadalīšana ciklos Grafa šķautņu nokrāsošana vairākās krāsās tā, lai katra krāsa veidotu ciklu.
2.2.4.4.0 Divdaļīgi (bipartite) grafi Divdaļīgo grafu nepieciešamais un pietiekamais nosacījums - grafā nav ciklu ar nepāra garumu.
2.2.4.5.0 Uzdevumi par pieaudzēšanu ar ierobežojumiem Kāds ir mazākais skaits šķautņu, kas jāpievieno grafam, lai tas kļūtu sakarīgs (vai k-connected - katras divas virsotnes savienotas ar k ceļiem bez kopīgām virsotnēm) vai tajā rastos Eilera cikls. Arī otrādi - kāds mazākais skaits šķautņu, kas jāpārgriež, lai grafā nebūtu nepāra ciklu, lai tas kļūtu divdaļīgs.
2.2.5.0.0 Sakarīgi grafi un dalīšana sakarīgās komponentēs Sakarīgs grafs (*connected graph*), kurā starp katrām divām virsotnēm ir ceļš.
2.2.6.0.0 Apakšgrafi Virsotņu vai šķautņu izmešana no grafiem un grafu dalīšana gabalos
2.2.7.0.0 Koki Apgalvojumi par neorientētiem kokiem bez definētas saknes. Sakarīgs grafs bez cikliem satur tieši \(m=n-1\) šķautnes (par vienu šķautni mazāk nekā virsotņu). Kokā pārgriežot jebkuru šķautni, rodas divi komponenti (kas arī ir koki, ja vientuļu virsotni arī uzskatām par "koku").
2.2.8.0.0 Grafu apstaigāšana DFS (*Depth first search* jeb apstaigāšana dziļumā), BFS (*Breadth first search* jeb apstaigāšana platumā), koku un patvaļīgu grafu apstaigāšana.
2.2.9.0.0 Planārie grafi Grafi, kurus var attēlot plaknē bez šķautņu krustošanās.
2.2.9.1.0 Planaritātes nosacījumi Grafa planaritātes nosacījumi. Planārs grafs nesatur \(K_5\) vai \(K_{3,3}\) kā apakšgrafus.
2.2.9.2.0 Eilera formula un tās secinājumi Eilera formula planāriem grafiem: \(E = V+F-2\) un tās sekas
2.2.10.0.0 Grafa virsotņu vai šķautņu krāsošana vai apzīmēšana Virsotņu vai šķautņu izkrāsošanas uzdevumi. Ramseja teorija. Simbolu virkņu vai svaru pierakstīšana grafa virsotnēm vai šķautnēm.
2.2.10.1.0 Grafi ar krāsainām šķautnēm Uzdevumi par pazīstamiem/nepazīstamiem cilvēkiem vai citām situācijām, kur pilna grafa šķautnes izkrāsotas vairākās krāsās. Ramseja teorēma. Ramseja skaitļi pilniem grafiem. Piesātināti grafi. Vispārināti Ramseja skaitļi. Ramseja uzdevumi nepilniem grafiem.
2.2.10.2.0 Grafi ar krāsainām virsotnēm Grafu virsotņu krāsošana. Četru krāsu teorēmai līdzīgi rezultāti.
2.2.10.2.1 Neatkarīga virsotņu kopa grafā Nosacījumi, pie kuriem var atrast grafa virsotņu kopu, kurā nekādas divas virsotnes nav savienotas.
2.2.10.3.0 Grafu numerācijas Grafa virsotņu vai šķautņu numerēšana ar veseliem skaitļiem, ievērojot noteiktus ierobežojumus — tsk. graciozās numerācijas (virsotņu numuri \(0..m\) ar visām dažādām šķautņu starpībām) un maģiskās numerācijas (vienādas šķautņu numuru summas ap katru virsotni).
2.2.10.4.0 Minimaksa teorēmas Vairākas teorēmas par optimālām konfigurācijām grafos.
2.2.10.4.1 Holla teorēma Holla teorēma par nepieciešamo un pietiekamo nosacījumu, lai divdaļīgā grafā eksistētu maksimālais sapārojums.
2.2.10.4.2 Dilvorsa lemma un Dilvorsa teorēma Ja daļēji sakārtota kopa satur \(m \cdot n + 1\) elementus, tad tajā var atrast vai nu ķēdi, kuras garums ir \(m + 1\), vai antiķēdi, kuras garums ir kuras garums ir \(n + 1\) (un citi radniecīgi rezultāti)
2.2.10.4.3 Kēniga teorēma Kőnig-a teorēma par grafu maksimāliem sapārojumiem: Katrā divdaļu grafā šķautņu skaits maksimālā sapārojumā ir vienāds ar virsotņu skaitu minimālajā virsotņu pārklājumā.
2.2.10.4.4 Erdeša-Šekereša teorēma Naturāliem skaitļiem \(r\), \(s\) un katrai virknei ar vismaz \((r − 1)(s − 1) + 1\) reāliem skaitļiem ir vai nu monotoni augoša apakšvirkne garumā \(r\), vai arī monotoni dilstoša apakšvirkne garumā \(s\).
2.2.10.5.0 Vidējā vērtība bezgalīgiem grafiem Vidējā vērtība un citu novērtējumu izmantošana, apskatot bezgalīgus grafus.
2.3.0.0.0 Spēles Dots, ka divi spēlētāji spēlē spēli, pārmaiņus izdarot. Jāizstrādā uzvarošā stratēģija kādam no spēlētājiem vai jānoskaidro, kurš no spēlētājiem uzvar, pareizi spēlējot. Šajā kategorijā neietilpst skaitļu teorijas spēles, kur gājieni ir veselu skaitļu vai to ciparu manipulācijas.
2.3.1.0.0 Spēles ar simetriju Simetrijas izmantošana spēļu analīzē. Spēles ar tiešu simetriju. Spēles ar vispārinātu simetriju.
2.3.2.0.0 Spēles modeļa veidošana Spēles, kurās no apraksta jāizveido spēles modelis, kuru vieglāk analizēt nekā sākotnējo spēli.
2.3.2.1.0 Spēles modelis rūtiņu režģī Spēles ar skaitļu pāru pārveidošanu (NIM varianti ar divām kaudzītēm u.c.); to vizualizācija ar pārvietojumiem Dekarta plaknē.
2.3.2.2.0 Spēles modelis grafā Spēles pozīciju attēlošana ar grafu, tsk. lēmumu pieņemšanas grafu (*decision graph*)
2.3.3.0.0 Tīrie uzvarošās stratēģijas eksistences pierādījumi Nosacījumi, pie kuriem kombinatoriskai spēlei eksistē uzvarošā stratēģija.
2.3.4.0.0 Spēles invariants Spēles, kurās uzvarošo stratēģiju var pamatot, izmantojot invariantu (kādu īpašību, kuru spēlētājs ar uzvarošo stratēģiju vienmēr var atjaunot).
2.3.5.0.0 Varbūtiskās spēles Varbūtiskas spēles un spēles, kuru rezultātu noteiktai divu spēlētāju gājienu kombinācijai nosaka tabulveida matrica.
2.3.6.0.0 Nepārtrauktās spēles Spēles, kuru pozīcija nav viegli aprakstāma ar kombinatoriskām struktūrām.
2.3.6.1.0 Taisnīgas dalīšanas spēles Kā "taisnīgi" sadalīt torti (vai laupījumu utml.), ja drīkst veikt noteikta veida dalīšanu - ar šķirošanu daļās, taisniem griezieniem utml.
2.3.6.2.0 Ķeršanas spēles Spēles, kur viens spēlētājs ķer otru, pārvietojoties ģeometriskā figūrā.
2.3.6.3.0 Topoloģiskas spēles Spēles, kurās spēlētāji pēc kārtas izvēlas intervālus vai punktus, cenšoties konverģēt uz noteiktu robežu.
2.4.0.0.0 Kombinatoriskas struktūras Izvietojumi uz šaha galdiņa. Apakškopu sistēmas. Apakšvirkņu sistēmas. Paskāla trijstūris. Turnīri. Regulāri režģi. Latīņu kvadrāti
2.4.1.0.0 Izvietojumi uz šaha galdiņa Spēles pozīcijas šahā; torņu, laidņu, dāmu, zirdziņu utt. izvietojumi.
2.4.2.0.0 Apakškopu sistēmas Kā saskaitīt visas kādas kopas apakškopas ar noteiktām īpašībām.
2.4.3.0.0 Apakšvirkņu sistēmas Virkņu apakšvirkņu ar noteiktām īpašībām skaitīšana vai pētīšana (monotonas apakšvirknes, aizliegti fragmenti, virkņu sistēmas u.c.).
2.4.4.0.0 Paskāla trijstūris Paskāla trijstūra īpašības un to interpretācijas binomiālajiem koeficientiem \(C_n^k\).
2.4.5.0.0 Īpaši režģi Hiperkubi un līdzīgas struktūras ar "regulārām" (globāli aprakstāmām) īpašībām un elementu savstarpējām sakarībām.
2.4.6.0.0 Latīņu kvadrāti Kvadrāti \(n \times n\), kas aizpildīti ar \(n\) dažādu veidu simboliem tā, lai katrs simbols katrā rindiņā un katrā kolonnā parādītos tieši vienreiz.
2.5.0.0.0 Kombinatoriski algoritmi Kombinatoriski algoritmi un to lietojumi procedūru veidošanai kā arī kombinatoriskiem uzdevumiem vispār.
2.5.1.0.0 Kārtošanas turnīri Adaptīvi salīdzināšanas algoritmi, kuros nākamās salīdzināšanas izvēlas atkarībā no iepriekšējo salīdzināšanu rezultāta
2.5.1.1.0 Uzvarētāja noskaidrošana \(n-1\) salīdzināšanas, lai no \(n\) elementiem atrastu lielāko
2.5.1.2.0 Čempiona un vicečempiona noskaidrošana \(n + \lceil \log_2(n) \rceil - 1\), lai no \(n\) elementiem atrastu divus lielākos
2.5.1.3.0 Čempiona, vicečempiona un bronzas medaļas īpašnieka noskaidrošana Trīs lielāko elementu atrašana nesakārtotā masīvā
2.5.1.4.0 Monotonu turnīru pilnīga sakārtošana Vajadzīgas vismaz \(\lceil \log_2(n!) \rceil\) salīdzināšanas jeb aptuveni \(n \cdot \log_2 n\)
2.5.2.0.0 Informācijas izplatīšanās uzdevumi Vienkārši paralēlie algoritmi un to sarežģītības apakšējie un augšējie novērtējumi
2.5.3.0.0 Informācijas kodēšana Kodēšana kā injektīva funkcija no objektiem uz burtu virknītēm
2.5.4.0.0 Dažādi meklēšanas uzdevumi Algoritmiski meklēšanas uzdevumi
2.5.5.0.0 Ieciklošanās Spriedumi par algoritmu ieciklošanos
2.6.0.0.0 Loģikas uzdevumi Uzdevumi par patiesiem un aplamiem izteikumiem, patiesības teikšanu un melošanu. Uzdevumi ar apslēptu informāciju. Paradoksi.
2.6.1.0.0 Uzdevumi par izteikumu patiesumu Uzdevumi, kur izteikti vairāki apgalvojumi un jāanalizē, kuri (vai cik) no tiem var būt patiesi.
2.6.2.0.0 Uzdevumi ar apslēptu informāciju Uzdevumi, kur jānoskaidro apslēptā informācija, uzdodot jautājumus noteiktā formā.
2.6.3.0.0 Paradoksi Loģikas uzdevumi, kur jāpamato neparasti apgalvojumi vai jāatrod secinājumos kļūdas.
2.7.0.0.0 Diskrētās varbūtības Atrast varbūtības izmantojot klasisko varbūtības definīciju. Aprēķināt notikumu varbūtības, izmantojot reizināšanas likumu un citus kombinatorikas paņēmienus. Nosacītas varbūtības un spriedumi par operācijām ar diskrētiem gadījumlielumiem (kuri var pieņemt sanumurējami daudz vērtību).
2.7.1.0.0 Notikumu un to kombināciju varbūtības Notikumu varbūtību noteikšana ar Laplasa varbūtības definīciju
2.7.2.0.0 Nosacītā varbūtība Nosacītā varbūtība un Beiesa formula
2.7.3.0.0 Diskrētie gadījumlielumi Gadījumlielumi, to sadalījuma un blīvuma funkcijas, darbības ar tiem
2.7.3.1.0 Gadījumlieluma vidējās vērtība un dispersija Gadījumlieluma aprakstīšana ar vidējo vērtību n
2.7.3.1.1 Neatkarīgu gadījumlielumu īpašības \(E(X+Y)\) un \(V(X+Y)\) formulas
2.7.3.1.2 Markova un Čebiševa nevienādības Apgalvojumi par gadījumlieluma novirzi no savas vidējās vērtības
2.7.3.2.0 Pazīstami varbūtiskie sadalījumi Bernulli, binomiālais, Puasona, logaritmiskais, ģeometriskais, hiperģeometriskais, Zipfa, Benforda sadalījumi
3.0.0.0.0 Ģeometrija Ģeometrijas tēmas; Apgalvojumi un sakarības par vienkāršām figūrām, kas iegūstamas ar cirkuli un lineālu Eiklīda plaknē un to kongruences vai līdzības pārveidojumiem
3.1.0.0.0 Leņķu īpašības Uzdevumi, kuros jāpierāda, ka kādas taisnes vai nogriežņi ir paralēli vai perpendikulāri. Uzdevumi, kuros dota vai jāpierāda nogriežņu garumu attiecība vai leņķu vienādība.
3.1.1.0.0 Leņķi pie paralēlām un krustiskām taisnēm Leņķi, ko veido paralēlas vai krustiskas taisnes: blakusleņķi, krustleņķi, kāpšļu leņķi, iekšējie un ārējie šķērsleņķi, iekšējie un ārējie vienpusleņķi.
3.1.1.1.0 Blakusleņķi Leņķu summa ir \(180^{\circ}\), ja tie kopā veido izstieptu leņķi.
3.1.1.2.0 Krustleņķi Leņķu vienādība, ja tie atrodas pretējās pusēs divām krustiskām taisnēm.
3.1.1.3.0 Kāpšļu leņķi Leņķu vienādības, ja tie vienādi novietoti pie divām paralēlām taisnēm, kuras krusto slīpā taisne
3.1.1.4.0 Iekšējie un ārējie šķērsleņķi Leņķu vienādība, ja tie ir pretējās pusēs no slīpās taisnes, kas krusto divas paralēlas taisnes
3.1.1.5.0 Iekšējie un ārējie vienpusleņķi Leņķu summa ir \(180^{\circ}\), ja tie ir vienā pusē no slīpās taisnes, kas krusto divas paralēlas taisnes.
3.1.2.0.0 Leņķu summas Sakarības ar leņķu summām — ap punktu, trijstūrī un pie taisnēm.
3.1.2.1.0 Leņķi ar kopīgu virsotni Sakarības starp leņķiem ar kopīgu virsotni; leņķu summas ap punktu.
3.1.2.2.0 Trijstūra leņķu sakarības Izmantot trijstūra iekšējo un ārējo leņķu sakarības
3.1.2.2.1 Trijstūra iekšējo leņķu summa Trijstūra iekšējo leņķu summa ir \(180^{\circ}\).
3.1.2.2.2 Trijstūra ārējo leņķu sakarības Trijstūra ārējais leņķis vienāds ar abu tam blakus neesošo iekšējo leņķu summu.
3.1.2.2.3 Leņķi taisnleņķa trijstūrī Taisnleņķa trijstūra šauro leņķu summa ir \(90^{\circ}\); saistīti leņķu aprēķini.
3.1.2.3.0 Orientēti leņķi starp stariem Orientēti leņķi starp stariem un aprēķini ar tiem.
3.1.2.4.0 Leņķi pēc 180 grādu moduļa \([0; 180)\) Darbs ar leņķiem pēc \(180^{\circ}\) moduļa, t.i. intervālā \([0; 180)\), piemēram, leņķiem starp taisnēm.
3.2.0.0.0 Riņķa līnijas Uzdevumi par riņķa līnijām un to hordām, pieskarēm, ievilktiem leņķiem.Punkti uz riņķa līnijas. Riņķa līnijā ievilkts trijstūris, četrstūris, daudzstūris. Leņķis riņķa līnijā. Ievilkta riņķa līnija. Apvilkta riņķa līnija.
3.2.1.0.0 Metriskas sakarības riņķī Metriskas sakarības, kas saista riņķa rādiusus, hordas, lokus, pieskares un leņķus.
3.2.1.1.0 Riņķa līnijas garums Riņķa līnijas garums \(C = 2\pi R\) un loku garumi.
3.2.1.2.0 Riņķa laukums Riņķa laukums \(S=\pi R^2\), sektoru un segmentu laukumi.
3.2.1.3.0 Riņķa līniju pieskares Riņķa līnijas pieskares: perpendikularitāte rādiusam un saistītās īpašības.
3.2.1.4.0 Hordu garumu reizinājums. Hordu garumu reizinājumu teorēma un punkta pakāpe: hordu un sekanšu nogriežņu reizinājumi.
3.2.1.5.0 Leņķi, kas balstās uz vienādiem lokiem Izmantot riņķī ievilkta leņķa īpašības
3.2.1.6.0 Leņķis starp divām hordām Leņķis starp divām hordām vienāds ar aptverto loku summas pusi.
3.2.1.7.0 Leņķis starp pieskari un hordu Leņķis starp pieskari un hordu vienāds ar aptvertā loka pusi (hordas-pieskares leņķis).
3.2.2.0.0 Loka un hordas izteikšana ar leņķi Attiecības starp leņķa lielumu un loka un hordas garumiem, kas saistīti ar leņķi
3.2.3.0.0 Četri punkti uz vienas riņķa līnijas Kritēriji, lai četri punkti atrastos uz vienas riņķa līnijas, un to lietošana.
3.2.4.0.0 Ievilkts leņķis un līdzīgi trijstūri Ievilktā leņķa teorēmas apvienošana ar līdzīgiem trijstūriem (piemēram, hordu krustpunktu konfigurācijās).
3.2.5.0.0 Bisektrise sadala loku uz pusēm Ievilkta trijstūra virsotnes bisektrise iet caur pretējā loka viduspunktu.
3.2.6.0.0 Ievilkts četrstūris ar perpendikulārām diagonālēm Ievilktu četrstūru ar perpendikulārām diagonālēm īpašības.
3.2.7.0.0 Divas pieskares, kas novilktas no viena punkta No ārēja punkta riņķa līnijai novilktie divi pieskaru nogriežņi ir vienādi.
3.2.8.0.0 Riņķa līnijas, kas pieskaras Riņķa līniju konfigurācijas, kurās tās pieskaras (iekšēji vai ārēji).
3.2.9.0.0 Trīs riņķa līnijas ar vienādu rādiusu Trīs riņķa līniju ar vienādiem rādiusiem konfigurācijas.
3.2.10.0.0 Trīs apvilktas riņķa līnijas krustojas vienā punktā Konfigurācijas, kurās trīs apvilktās riņķa līnijas iet caur kopīgu punktu (piemēram, Mikela punkts).
3.2.11.0.0 Segmentā ievilktas riņķa līnijas Riņķa segmentā ievilktas riņķa līnijas un to īpašības.
3.2.12.0.0 Radikālā ass Divu riņķa līniju radikālā ass: punktu ģeometriskā vieta, kuriem vienāda pakāpe attiecībā pret abām riņķa līnijām.
3.3.0.0.0 Trijstūris Uzdevumos dots trijstūris un ar to saistīti punkti vai taisnes, vai riņķa līnijas. Trijstūris un tā ievilktā un apvilktā riņķa līnija. Taisnleņķa trijstūri. Vienādmalu trijstūris. Vienādsānu trijstūri. Trijstūri ar leņķiem \(60^{\circ}\) vai \(120^{\circ}\).Trijstūri, kuru malu garumi ir veseli skaitļi. Ar trijstūri saistītas līnijas un ģeometriskas sakarības. Menelaja teorēma. Čevas teorēma. Simsona taisne. Pēdas punktu trijstūris. Eilera taisne un deviņu punktu riņķa līnija. Brokāra punkti . Lemuāna punkts.
3.3.1.0.0 Metriskas sakarības trijstūrī Metriskas sakarības starp trijstūra malām un citiem tā elementiem.
3.3.1.1.0 Trijstūra malas Sakarības starp trijstūra malu garumiem.
3.3.1.2.0 Trijstūra perimetrs Aprēķini un novērtējumi ar trijstūra perimetru.
3.3.1.3.0 Laukuma formulas Izmantot trijstūru laukuma formulas
3.3.1.3.1 Trijstūra laukums ar pamatu un augstumu Izmantot trijstūra laukuma formulu \(S=\frac{ah}{2}\)
3.3.1.3.2 Trijstūra laukums ar malām un leņķi Izmantot trijstūra laukuma formulu \(S=\frac{1}{2}ab \sin \gamma\)
3.3.1.4.0 Pitagora teorēma Pitagora teorēma \(a^2+b^2=c^2\) taisnleņķa trijstūrī un tai apgrieztā teorēma; lietojumi garumu aprēķināšanai.
3.3.2.0.0 Trijstūris un tā ievilktā un apvilktā riņķa līnija Trijstūra kopā ar tā ievilkto un apvilkto riņķa līniju īpašības.
3.3.3.0.0 Speciālu veidu trijstūri Izmantot noteiktu trijstūru apakškopu īpašības
3.3.3.1.0 Taisnleņķa trijstūri Taisnleņķa trijstūru īpašības, tsk. šauro leņķu trigonometriskās sakarības.
3.3.3.1.1 Taisnleņķa trijstūra pretkatetes un hipotenūzas attiecība (sin) Pretkatetes un hipotenūzas attiecība (\(\sin\)).
3.3.3.1.2 Taisnleņķa trijstūra piekatetes un hipotenūzas attiecība (cos) Piekatetes un hipotenūzas attiecība (\(\cos\)).
3.3.3.1.3 Taisnleņķa trijstūra pretkatetes un piekatetes attiecība (tan) Pretkatetes un piekatetes attiecība (\(\tan\)).
3.3.3.2.0 Vienādmalu trijstūris Izmantot vienādmalu trijstūru īpašības
3.3.3.3.0 Vienādsānu trijstūri Izmantot vienādsānu trijstūru īpašības
3.3.3.4.0 Trijstūri ar leņķiem \(60^{\circ}\) vai \(120^{\circ}\) Trijstūru ar \(60^{\circ}\) vai \(120^{\circ}\) leņķi īpašības.
3.3.3.5.0 Trijstūri, kuru malu garumi ir veseli skaitļi Trijstūri, kuru malu garumi ir veseli skaitļi.
3.3.4.0.0 Trijstūru vienādības pazīmes ("mmm", "mlm", "lml"). Izmantot trijstūru vienādības pazīmes
3.3.4.1.0 Trijstūru vienādības pazīme mmm Trijstūru vienādības pazīme pēc trim malām (mmm).
3.3.4.2.0 Trijstūru vienādības pazīme mlm Trijstūru vienādības pazīme pēc divām malām un leņķa starp tām (mlm).
3.3.4.3.0 Trijstūru vienādības pazīme lml Trijstūru vienādības pazīme pēc malas un tai pieguļošajiem leņķiem (lml).
3.3.4.4.0 Trijstūru vienādības lietošana Vienādu trijstūru izmantošana nogriežņu un leņķu vienādību pārnešanai.
3.3.5.0.0 Trijstūru līdzība Līdzīgi trijstūri, līdzības pazīmes un to lietojumi.
3.3.5.1.0 Trijstūru līdzība pēc 3 proporcionālām malām Trijstūru līdzība pēc trim proporcionālām malām.
3.3.5.2.0 Trijstūru līdzība pēc 2 proporcionālām malām un leņķa Trijstūru līdzība pēc divām proporcionālām malām un leņķa starp tām.
3.3.5.3.0 Trijstūru līdzība pēc 3 vienādiem leņķiem Trijstūru līdzība pēc vienādiem leņķiem.
3.3.5.4.0 Līdzīgu trijstūru malu attiecība Līdzīgu trijstūru atbilstošo malu attiecība (līdzības koeficients).
3.3.5.5.0 Līdzīgu trijstūru laukumu attiecība Līdzīgu trijstūru laukumi attiecas kā līdzības koeficienta kvadrāts.
3.3.5.6.0 Trijstūris, ko nosaka augstumu pamati Ortotrijstūris — trijstūris, ko nosaka augstumu pamati.
3.3.5.7.0 Līdzīgas figūras Patvaļīgu figūru (ne tikai trijstūru) līdzība.
3.3.6.0.0 Jaunu konstrukciju pievienošana trijstūrim Ar trijstūri saistītas ģeometriskas sakarības un konstrukcijas un to lietojumi
3.3.6.1.0 Trijstūra mediānu īpašības Trijstūra mediānas: krustošanās smaguma centrā, attiecība 2:1, laukuma dalīšana uz pusēm.
3.3.6.2.0 Trijstūra malu vidusperpendikulu īpašības Trijstūra malu vidusperpendikulu īpašības.
3.3.6.2.1 Vidusperpendikuls kā ģeometriska vieta Vidusperpendikuls kā punktu ģeometriskā vieta, kas vienādā attālumā no diviem punktiem.
3.3.6.2.2 Apvilktā riņķa centrs Apvilktā riņķa centrs kā vidusperpendikulu krustpunkts.
3.3.6.3.0 Trijstūra bisektrise Trijstūra bisektrises: ievilktā riņķa centrs, bisektrise kā ģeometriskā vieta, bisektrises garuma un attiecību īpašības.
3.3.6.4.0 Trijstūra augstums Trijstūra augstumi un ortocentrs.
3.3.6.5.0 Sarežģītākas trijstūru īpašības Sarežģītākas teorēmas un trijstūra īpašie punkti un taisnes.
3.3.6.5.1 Menelaja teorēma Menelaja teorēma par taisni, kas krusto trijstūra malas.
3.3.6.5.2 Čevas teorēma Čevas teorēma — kritērijs trīs čevianu krustojumam vienā punktā.
3.3.6.5.3 Simsona taisne Simsona taisne: no apvilktās riņķa līnijas punkta uz malām vilkto perpendikulu pamati atrodas uz vienas taisnes.
3.3.6.5.4 Pēdas punktu trijstūris Punkta pēdas punktu trijstūris attiecībā pret trijstūri.
3.3.6.5.5 Eilera taisne Eilera taisne caur apvilktā riņķa centru, smaguma centru un ortocentru.
3.3.6.5.6 Deviņu punktu riņķa līnija Deviņu punktu riņķa līnija caur malu viduspunktiem, augstumu pamatiem un Eilera punktiem.
3.3.6.5.7 Brokāra punkti Trijstūra Brokāra punkti un to īpašības.
3.3.6.5.8 Lemuāna punkts Trijstūra Lemuāna (simediānu) punkts.
3.4.0.0.0 Četrstūris Kvadrāts. Taisnstūris. Rombs. Trapece. Ievilkti četrstūri. Apvilkti četrstūri. Ptolemaja teorēma.
3.4.1.0.0 Kvadrāts Izmantot kvadrātu ģeometriskās īpašības
3.4.2.0.0 Taisnstūris Izmantot taisnstūru ģeometriskās īpašības
3.4.3.0.0 Rombs Izmantot rombu ģeometriskās īpašības
3.4.4.0.0 Paralelograms Izmantot paralelogramu ģeometriskās īpašības
3.4.4.1.0 Paralelograma laukums Paralelograma laukuma formulas.
3.4.5.0.0 Trapece Izmantot trapeču ģeometriskās īpašības un laukuma formulu
3.4.5.1.0 Vienādsānu trapece Vienādsānu trapeces īpašības, tsk. virsotņu atrašanās uz vienas riņķa līnijas.
3.4.5.2.0 Taisnleņķa trapece Taisnleņķa trapeces īpašības.
3.4.6.0.0 Ievilkti un apvilkti četrstūri Ievilkti četrstūri (pretējo leņķu summa \(180^{\circ}\)) un apvilkti četrstūri (vienādas pretējo malu summas).
3.4.7.0.0 Ptolemaja teorēma Ptolemaja teorēma un nevienādība ievilktiem četrstūriem.
3.4.8.0.0 Pārējie uzdevumi par četrstūriem Pārējie uzdevumi par četrstūriem.
3.5.0.0.0 Daudzstūris Piecstūri. Sešstūri. Regulāri daudzstūri. Ievilkti un apvilkti daudzstūri. Patvaļīgi izliekti daudzstūri. Paskāla teorēma. Helli teorēma. Ieliekti daudzstūri. Izoperimetriskā nevienādība.
3.5.1.0.0 Daudzstūra perimetrs Daudzstūra perimetra atrašana un novērtējumi
3.5.2.0.0 Daudzstūra iekšējo leņķu summa Izmantot daudzstūru leņķu summas sakarību \(180^{\circ}(n-2)\) un citas leņķu sakarības
3.5.3.0.0 Piecstūri Uzdevumi par piecstūriem.
3.5.4.0.0 Sešstūri Uzdevumi par sešstūriem.
3.5.5.0.0 Regulāri daudzstūri Regulāru daudzstūru īpašības un elementi
3.5.6.0.0 Ievilkti un apvilkti daudzstūri Riņķa līnijā ievilkti un tai apvilkti daudzstūri.
3.5.7.0.0 Patvaļīgi izliekti daudzstūri Patvaļīgu izliektu daudzstūru īpašības.
3.5.8.0.0 Paskāla teorēma Paskāla teorēma par konikā (riņķa līnijā) ievilktu sešstūri.
3.5.9.0.0 Helli teorēma Helli teorēma par izliektu kopu šķēlumiem plaknē.
3.5.10.0.0 Ieliekti daudzstūri Neizliektu (ieliektu) daudzstūru īpašības.
3.5.11.0.0 Izoperimetriskā nevienādība Izoperimetriskā nevienādība: starp figūrām ar dotu perimetru vislielākais laukums ir riņķim.
3.6.0.0.0 Laukums Laukumu aprēķināšana. Četrstūra laukuma formulas. Laukumi trijstūriem vai citām figūrām, kurās ir sadalīts daudzstūris. Vienlielas figūras. Mediāna sadala trijstūri vienādu laukumu trijstūros. Taisnes un līknes, kas sadala figūras vienlielās daļās. Laukumu pārgrupēšana.
3.6.1.0.0 Laukumu aprēķināšana Figūru laukumu tieša aprēķināšana.
3.6.2.0.0 Četrstūri un laukumi Četrstūru un to daļu laukumi.
3.6.2.1.0 Četrstūra laukuma formulas Četrstūra laukuma formulas (ar diagonālēm, malām, leņķiem).
3.6.2.2.0 Laukumi trijstūriem, kuros ir sadalīts četrstūris Laukumi trijstūriem, kuros četrstūri sadala diagonāles vai citi nogriežņi.
3.6.2.3.0 Laukumi figūrām, kuras iegūst, sadalot četrstūri Laukumi figūrām, kuras iegūst, sadalot četrstūri.
3.6.3.0.0 Vienlielas figūras Vienlielas figūras un laukumu saglabājoši pārveidojumi.
3.6.3.1.0 Mediāna sadala trijstūri vienādu laukumu trijstūros Mediāna sadala trijstūri divos vienlielos trijstūros.
3.6.3.2.0 Taisnes un līknes, kas sadala figūras vienlielās daļās Taisnes un līknes, kas sadala figūras vienlielās daļās.
3.6.4.0.0 Laukuma izmantošana uzdevumu risinājumos Laukumu izmantošana citu (ne laukuma) apgalvojumu pierādīšanai (laukumu metode).
3.6.5.0.0 Laukumu pārgrupēšana Laukumu sagriešana un pārgrupēšana to salīdzināšanai vai aprēķināšanai.
3.7.0.0.0 Konstrukcijas uzdevumi Uzdevumi, kuros doti specifiski trijstūra elementi un, izmantojot cirkuli un lineālu, jākonstruē trijstūri. Uzdevumi, kuros doti konkrēti punkti un/ vai nogriežņi, taisnes, leņķi vai riņķa līnijas un nepieciešams konstruēt trijstūri, četrstūri, leņķi, taisni, staru vai riņķa līniju, izmantojot cirkuli un lineālu. Iespējami arī uzdevumi, kuros ļauts izmantot tikai lineālu, divpusēju lineālu vai uzstūri (taisnleņķa lineālu). Citi konstrukcijas uzdevumi.
3.7.1.0.0 Ievilkta leņķa konstruēšana Konstrukcijas, kas balstās uz ievilkto leņķi (loka konstruēšana, no kura nogrieznis redzams dotajā leņķī).
3.7.2.0.0 Trijstūru konstruēšana Trijstūru konstruēšana no dotiem elementiem.
3.7.2.1.0 Līdzīgu trijstūru un homotētijas attēlu konstruēšana Līdzīgu trijstūru un homotētijas attēlu konstruēšana.
3.7.2.2.0 Trijstūru konstruēšana no to elementiem Trijstūra konstruēšana no dotām malām, leņķiem, mediānām, augstumiem, bisektrisēm utt.
3.7.2.3.0 Trijstūru konstruēšana no to īpašajiem punktiem Trijstūra konstruēšana no tā īpašajiem punktiem (smaguma centra, ortocentra, apvilktā riņķa centra u.c.).
3.7.3.0.0 Četrstūru konstruēšana Četrstūru konstruēšana no dotiem elementiem.
3.7.4.0.0 Riņķa līniju konstruēšana Riņķa līniju konstruēšana pēc dotiem nosacījumiem (caur punktiem, pieskaroties taisnēm vai riņķa līnijām).
3.7.5.0.0 Apolonija riņķa līniju konstruēšana Apolonija riņķa līnija (punktu ģeometriskā vieta ar fiksētu attālumu attiecību līdz diviem punktiem) konstrukcijās.
3.7.6.0.0 Konstrukcijas plaknē ar neparastiem līdzekļiem Konstrukcijas plaknē ar ierobežotiem vai neparastiem līdzekļiem.
3.7.6.1.0 Konstrukcijas, kas izmanto tikai lineālu Konstrukcijas, kurās izmanto tikai lineālu.
3.7.6.2.0 Konstrukcijas ar divpusēju lineālu Konstrukcijas ar divpusēju (paralēlu malu) lineālu.
3.7.6.3.0 Konstrukcijas ar taisnleņķa lineālu Konstrukcijas ar taisnleņķa lineālu (uzstūri).
3.7.6.4.0 Konstrukcijas, kas izmanto tikai cirkuli Konstrukcijas, kurās izmanto tikai cirkuli (Mora-Maskeroni stilā).
3.7.6.5.0 Konstrukcijas plaknē ar citiem līdzekļiem Konstrukcijas plaknē ar citiem līdzekļiem.
3.7.7.0.0 Triangulācija Veikt daudzstūru triangulāciju
3.8.0.0.0 Punktu ģeometriskā vieta Uzdevumi, kuros jāatrod punktu ģeometrskā vieta vai trajektorija. Atrast punktu kopu plaknē ar noteiktām īpašībām. Pierādīt, ka dotajā veidā iegūtie punkti ir uz vienas taisnes vai vienas riņķa līnijas. Pierādīt, ka dotās līnijas krustojas vienā punktā. Karno teorēma.
3.8.1.0.0 Punktu ģeometriskā vieta – taisne vai nogrieznis Ģeometriskās vietas, kas izrādās taisnes, stari vai nogriežņi.
3.8.2.0.0 Punktu ģeometriskā vieta – riņķa līnija vai loks Ģeometriskās vietas, kas izrādās riņķa līnijas vai loki.
3.8.3.0.0 Ievilkts leņķis kā ģeometriskā vieta Loks kā ģeometriskā vieta punktiem, no kuriem nogrieznis redzams dotā leņķī.
3.8.4.0.0 Vienādi vai līdzīgi palīgtrijstūri Vienādu vai līdzīgu palīgtrijstūru izmantošana ģeometrisko vietu uzdevumos.
3.8.5.0.0 Punktu ģeometriskās vietas metode Punkta atrašana kā divu ģeometrisko vietu krustpunkts (ģeometrisko vietu metode).
3.8.6.0.0 Punktu ģeometriskā vieta ar nenulles laukumu Ģeometriskās vietas, kas veido divdimensionālus apgabalus (ar nenulles laukumu).
3.8.7.0.0 Karno teorēma \(P_a, P_b, P_c\) ir trīs perpendikulu pamati pret trijstūra malām \(a, b, c\). Šie trīs perpendikuli krustojas vienā punktā tad un tikai tad, ja izpildās vienādība \(|AP_c|^2+|BP_a|^2+|CP_b|^2=|BP_c|^2+|CP_a|^2+|AP_b|^2\)
3.8.8.0.0 Fermā-Apolonija riņķa līnija Apolonija riņķa līnija kā ģeometriskā vieta punktiem ar fiksētu attālumu attiecību līdz diviem dotiem punktiem.
3.9.0.0.0 Metriskās sakarības Uzdevumi, kuros ģeometrisku apgalvojumu pamato ar algebrisku vai trigonometrisku izteiksmi. Uzdevumi, kuros dota sakarība starp ģeometriskiem lielumiem un jāpierāda, ka tā nav atkarīga no punkta vai taisnes izvēles. Uzdevumi, kuros jāpierāda nogriežņu vienādība vai jāaprēķina to attiecība. Uzdevumi, kuros jāaprēķina leņķi vai attālumi. Sinusu teorēma, kosinusu teorēma. Koordinātu izmantošana. Ievilkto, apvilkto un pievilkto riņķa līniju rādiusi. Malu, augstumu, bisektrišu garumi. Trijstūra leņķu sinusi un kosinusi. Trijstūra leņķu tangensi un kotangensi.
3.9.1.0.0 Sinusu teorēma Teorēma \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R\), kur \(a,b,c\) ir trijstūra malas; \(\alpha, \beta, \gamma\) ir trijstūra leņķi un \(R\) ir trijstūrim apvilktā riņķa rādiuss.
3.9.2.0.0 Kosinusu teorēma Kosinusu teorēma \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\) un tās lietojumi.
3.9.3.0.0 Ievilktās, apvilktās, pievilktās riņķa līnijas Ievilktās, apvilktās un pievilktās riņķa līnijas, to rādiusi
3.9.4.0.0 Malu, augstumu, bisektrišu garumi Formulas trijstūra malu, augstumu, mediānu un bisektrišu garumiem.
3.9.5.0.0 Trijstūra leņķu sinusi un kosinusi Identitātes un aprēķini ar trijstūra leņķu sinusiem un kosinusiem.
3.9.6.0.0 Trijstūra leņķu tangensi un kotangensi Identitātes un aprēķini ar trijstūra leņķu tangensiem un kotangensiem.
3.9.7.0.0 Leņķu aprēķināšana Leņķu aprēķināšana no dotiem metriskiem lielumiem.
3.9.8.0.0 Koordinātu metode Ģeometrijas uzdevumu risināšana, ieviešot koordinātas; taišņu un riņķa līniju vienādojumi.
3.9.9.0.0 Trigonometriskās interpretācijas Trigonometriskas substitūcijas un interpretācijas ģeometrijas un algebras uzdevumos.
3.9.10.0.0 Smaguma centra koordinātas Punktu sistēmas smaguma centrs, tā koordinātas un baricentriskie (masu punktu) aprēķini ģeometrijas uzdevumos.
3.10.0.0.0 Ģeometriskas nevienādības Pierādīt, ka kāds attālums nepārsniedz citu attālumu vai citu ģeometrisku nevienādību.
3.10.1.0.0 Trijstūra nevienādība Trijstūra nevienādība un tās lietojumi.
3.10.2.0.0 Nevienādības trijstūra elementiem Nevienādības starp trijstūra malām, leņķiem, mediānām, augstumiem, bisektrisēm, rādiusiem un laukumu.
3.10.2.1.0 Nevienādības trijstūra mediānām Nevienādības trijstūra mediānām.
3.10.2.2.0 Nevienādības trijstūra augstumiem Nevienādības trijstūra augstumiem.
3.10.2.3.0 Nevienādības trijstūra bisektrisēm Nevienādības trijstūra bisektrisēm.
3.10.2.4.0 Nevienādības malu garumiem Nevienādības trijstūra malu garumiem.
3.10.2.5.0 Ievilkto, apvilkto, pievilkto riņķa līniju nevienādības Nevienādības ar ievilktās, apvilktās un pievilkto riņķa līniju rādiusiem (piemēram, \(R \ge 2r\)).
3.10.2.6.0 Nevienādības starp trijstūra leņķiem Nevienādības starp trijstūra leņķiem.
3.10.2.7.0 Nevienādības trijstūra laukumam Nevienādības trijstūra laukumam.
3.10.2.8.0 Pret garāko malu ir lielākais leņķis Trijstūrī pret garāko malu atrodas lielākais leņķis.
3.10.2.9.0 Nogrieznis trijstūra iekšpusē Jebkurš nogrieznis trijstūra iekšpusē ir īsāks par garāko malu
3.10.2.10.0 Nevienādības taisnleņķa trijstūrī Nevienādības taisnleņķa trijstūrī.
3.10.2.11.0 Nevienādības šaurleņķa trijstūrī Nevienādības šaurleņķa trijstūrī.
3.10.2.12.0 Trijstūra laukums un \(\frac{1}{2}ab\) Trijstūra laukums nepārsniedz divu malu reizinājuma pusi
3.10.3.0.0 Četrstūra diagonāļu garumu summa Nevienādības četrstūra diagonāļu garumu summai.
3.10.4.0.0 Laukumu nevienādības Nevienādības starp figūru laukumiem.
3.10.5.0.0 Laukums, ja viena figūra atrodas citā Laukumu salīdzināšana, ja viena figūra atrodas otras iekšpusē.
3.10.6.0.0 Kvadrātā ievilktas lauztas līnijas Kvadrātā ievilktu lauztu līniju garuma un krustošanās īpašības.
3.11.0.0.0 Ekstrēmi ģeometrijā Uzdevumi, kuros jāatrod punkti, no kuriem attālumi vai attālumu summas veido maksimālo jeb lielāko vai minimālo jeb mazāko kādas izteiksmes vērtību. Uzdevumi, kuros jāatrod lielākais iespējamais leņķis. Uzdevumi, kuros jāatrod minimālais vai maksimālais laukums.Uzdevumi, kuros jāatrod punkta vai taisnes stāvoklis, pie kura tiek iegūts minimālais vai maksimālais laukums.
3.11.1.0.0 Trijstūris Ekstrēmu uzdevumi trijstūrī.
3.11.2.0.0 Trijstūra ekstremālie punkti Trijstūra īpašie ekstremālie punkti (piemēram, Fermā-Toričelli punkts).
3.11.3.0.0 Leņķis Uzdevumi par lielāko vai mazāko leņķi.
3.11.4.0.0 Četrstūri Ekstrēmu uzdevumi četrstūriem.
3.11.5.0.0 Daudzstūri Ekstrēmu uzdevumi daudzstūriem.
3.11.6.0.0 Regulāro daudzstūru ekstremālās īpašības Regulāro daudzstūru ekstremālās īpašības.
3.11.7.0.0 Ģeometriski novērtējumi ar vidējo vērtību Ģeometriski novērtējumi, izmantojot vidējo vērtību un Dirihlē principu.
3.11.7.1.0 Maksimālais attālums starp daudzstūra punktiem Maksimālais attālums starp daudzstūra punktiem (diametrs) un tā īpašības.
3.11.7.2.0 Lauztas līnijas virsotņu un posmu īpašības Lauztu līniju virsotņu un posmu īpašības.
3.11.7.3.0 Summu novērtēšanas metodes Metodes ģeometrisku summu (garumu, leņķu, laukumu) novērtēšanai.
3.11.7.3.1 Tieši summu novērtējumi Tieši summu novērtējumi pa locekļiem.
3.11.7.3.2 Summu novērtējumi un pārklāšanās; apkārtnes jēdziens. Summu novērtēšana, izmantojot figūru pārklāšanos un apkārtnes jēdzienu.
3.11.7.3.3 Summu novērtējumi un trijstūra nevienādība Summu novērtēšana, izmantojot trijstūra nevienādību.
3.11.7.4.0 Smaguma centrs kā vidējās vērtības jēdziena variants Smaguma centrs kā vidējās vērtības jēdziena variants.
3.11.7.5.0 Dirihlē princips laukumam un tilpumam Nepārtrauktais Dirihlē princips laukumiem un tilpumiem: ja figūru kopējais laukums pārsniedz aptverošās figūras laukumu, tad divas no tām pārklājas.
3.11.8.0.0 Metodes pielietojumi bezgalīgām kopām Vidējās vērtības metodes lietojumi bezgalīgām kopām.
3.11.8.1.0 Bezgalīgas kopas aizstāšana ar lielu galīgu kopu Bezgalīgas kopas aizstāšana ar lielu galīgu kopu vidējās vērtības spriedumā.
3.11.8.2.0 Bezgalīgu kopu sadalīšana galīgā skaitā daļu Bezgalīgas kopas sadalīšana galīgā skaitā daļu un Dirihlē principa lietošana.
3.11.8.3.0 Nogriežņa projekcijas integrālā vidējā vērtība Nogriežņa (vai līknes) projekcijas integrālā vidējā vērtība pa virzieniem.
3.12.0.0.0 Vektori Visi uzdevumi par vektoriem.
3.12.1.0.0 Vektori, ko veido daudzstūru malas Daudzstūra malas var uzskatīt par vektoriem; tad slēgtā lauztā līnija, ko apraksta daudzstūris, rodas tikai tad, ja visu malu vektoru summa ir nulles vektors.
3.12.2.0.0 Skalārais reizinājums. Attiecības Skalārais reizinājums definēts kā \(|a| \cdot |b| \cdot \cos \gamma\), kur \(\gamma\) ir leņķis starp vektoriem \(a\) un \(b\).
3.12.3.0.0 Nevienādības vektoru garumiem, laukumiem u.c. Vektori ļauj ieviest dažus skalārus lielumus (vektoru garumus, skalāro reizinājumu, laukumu, ko veido divu vektoru noteikts paralelograms). Tie apmierina vairākas nevienādības, no kurām pazīstamākā ir trijstūra nevienādība. Vektoru izteiksmē tā ir \(|a+b| \leq |a| + |b|\).
3.12.4.0.0 Vektoru summas Vektoru summēšana. Ģeometrisku elementu izteikšana ar vektoru summām (varbūt arī par noteiktu leņķi pagrieztu vai projicētu vektoru summām).
3.12.5.0.0 Palīgprojekcijas Vektoru projicēšana, piemēram, uz divām perpendikulārām taisnēm. Vektora izteikšana ar abu tā projekciju summu.
3.12.6.0.0 Vidējās vērtības metode vektoriem Vidējās vērtības spriedumi vektoru sistēmām.
3.12.7.0.0 Pseidoskalārais reizinājums. Pseidoskalārais reizinājums definēts kā \(|a| \cdot |b| \cdot \sin \gamma\), kur \(\gamma\) ir leņķis starp vektoriem \(\mathbb{a}\) un \(\mathbb{b}\). Tas apraksta paralelograma laukumu, ko veido abi vektori (var būt arī ar mīnusa zīmi - atkarībā no leņķa griešanās virziena).
3.13.0.0.0 Ģeometriskie pārveidojumi Paralēlā pārnese, centrālā simetrija, aksiālā simetrija. Simetrijas kompozīcijas. Simetrijas un simetrijas asu īpašības. Pagriezieni un pagriezienu kompozīcijas. Homotētija, homotētiju kompozīcijas un pagrieziena homotētija. Inversija. Afīnie pārveidojumi, projektīvās transformācijas.
3.13.1.0.0 Paralēlā pārnese Paralēlā pārnese un tās izmantošana uzdevumu risināšanā.
3.13.2.0.0 Centrālā simetrija Centrālā simetrija (simetrija pret punktu) un tās izmantošana uzdevumu risināšanā.
3.13.3.0.0 Aksiālā simetrija Simetrija pret taisni un tās izmantošana uzdevumu risināšanā.
3.13.3.1.0 Uzdevumu risināšana ar simetrijas palīdzību Uzdevumu risināšana ar atspoguļojumu palīdzību (piemēram, īsākā ceļa uzdevumos).
3.13.3.2.0 Konstrukcijas ar asu simetriju Konstrukciju uzdevumi, ko risina ar asu simetriju.
3.13.3.3.0 Nevienādības un ekstrēmi Nevienādību pierādīšana un ekstrēmu atrašana ar atspoguļojumiem.
3.13.3.4.0 Simetrijas kompozīcijas Simetriju kompozīcijas (kas dod pagriezienus un pārneses).
3.13.3.5.0 Simetrijas un simetrijas asu īpašības Simetriju un figūru simetrijas asu īpašības.
3.13.4.0.0 Pagrieziens Pagriezieni ap punktu un to izmantošana uzdevumu risināšanā.
3.13.4.1.0 Pagrieziens par \(90^{\circ}\) Pagriezieni par \(90^{\circ}\), tsk. koordinātu ģeometrijā vai uzdevumos par rūtiņu papīru.
3.13.4.2.0 Pagrieziens par \(60^{\circ}\) Pagriezieni par \(60^{\circ}\), tsk. konfigurācijās ar vienādmalu trijstūriem.
3.13.4.3.0 Pagriezieni par patvaļīgiem leņķiem Pagriezieni par patvaļīgiem leņķiem.
3.13.4.4.0 Pagriezienu kompozīcijas Pagriezienu kompozīcijas un to nekustīgie punkti.
3.13.5.0.0 Homotētija un pagrieziena homotētija Homotētija un pagrieziena homotētija un to izmantošana uzdevumu risināšanā, tsk. ģeometrisko vietu uzdevumos.
3.13.5.1.0 Homotētiski daudzstūri Homotētiski daudzstūri un to īpašības.
3.13.5.2.0 Homotētiskas riņķa līnijas Divu riņķa līniju homotētijas centri un homotētiskas riņķa līnijas.
3.13.5.3.0 Homotētiju kompozīcijas Homotētiju kompozīcijas (teorēma par trim homotētijas centriem).
3.13.5.4.0 Pagrieziena homotētija Pagrieziena homotētija (pagrieziena un homotētijas kompozīcija).
3.13.5.5.0 Pagrieziena homotētijas centrs Pagrieziena homotētijas centra atrašana.
3.13.5.6.0 Pagrieziena homotētiju kompozīcija Pagrieziena homotētiju kompozīcijas.
3.13.6.0.0 Inversija Inversija pret riņķa līniju un tās izmantošana uzdevumu risināšanā.
3.13.6.1.0 Inversijas īpašības Taišņu un riņķa līniju attēli inversijā; pieskaršanās un leņķu saglabāšanās.
3.13.6.2.0 Konstrukcijas tikai ar cirkuļa palīdzību Konstrukcijas tikai ar cirkuli, ko pamato ar inversijas palīdzību.
3.13.6.3.0 Punktu un riņķa līniju incidence Punkti, kas atrodas uz vienas riņķa līnijas, un riņķa līnijas, kas iet caur vienu punktu
3.13.6.4.0 Riņķa līniju ķēdes Pieskarošos riņķa līniju ķēdes (Šteinera ķēdes, arbelosa konfigurācijas), ko pēta ar inversiju.
3.13.6.5.0 Citi inversijas lietojumi Citi inversijas lietojumi.
3.13.7.0.0 Afīnie pārveidojumi Afīnie pārveidojumi, ieskaitot plaknes paralēlās projekcijas
3.13.8.0.0 Projektīvās transformācijas Centrālās projekcijas
3.13.8.1.0 Taisnes projektīvās transformācijas Taisnes projektīvie pārveidojumi.
3.13.8.2.0 Plaknes projektīvās transformācijas Plaknes projektīvie pārveidojumi.
3.13.8.3.0 Pārveidosim doto taisni uz bezgalību Projektīva pārveidojuma lietošana, kas izvēlēto taisni pārved bezgalīgi tālajā taisnē.
3.13.8.4.0 Projekcijas, kas saglabā riņķa līniju Projektīvo pārveidojumu pielietošana, kas saglabā riņķa līniju
3.13.8.5.0 Taisnes projektīvie pārveidojumi konstrukcijās Taisnes projektīvie pārveidojumi konstrukcijas uzdevumos.
3.13.8.6.0 Konstrukcijas neiespējamība tikai ar lineāla palīdzību Pierādījumi, ka noteiktas konstrukcijas nav iespējamas tikai ar lineālu (izmantojot projektīvo invarianci).
3.13.9.0.0 Mazi ģeometriski pārvietojumi Izdarīt spriedumus, kuros ir "ļoti mazi" ģeometriski pārvietojumi
3.14.0.0.0 Ģeometrisku objektu sistēmas Punktu, nogriežņu un citu ģeometrisku objektu sistēmas. Doti n punkti, jāpierāda kādas to īpašības. Jānoskaidro, vai kaut kas ir iespējams.
3.14.1.0.0 Punktu sistēmu ģeometriskais novietojums Galīgu punktu sistēmu savstarpējais novietojums plaknē (izliekts novietojums, kolinearitāte, attālumi).
3.14.2.0.0 Nogriežņu, taišņu un riņķa līniju izvietojums Nogriežņu, taišņu un riņķa līniju sistēmu savstarpējais novietojums.
3.14.3.0.0 Punktu, nogriežņu un citu ģeometrisku objektu skaits Punktu, nogriežņu, krustpunktu, apgabalu un citu ģeometrisku objektu skaitīšana.
3.15.0.0.0 Griezumi, pārklājumi, krāsojumi Uzdevumi, kuros jāsagriež daudzstūri speciāla veida daļās un tad no tām jāsaliek prasītā figūra. Uzdevumi, kuros jāpierāda, ka nevar sagriezt daudzstūri prasītā veida daļās. Uzdevumi, kuros jāpēta sagriežot iegūto daļu īpašības. Uzdevumi, kuros jānoskaidro, vai ir iespējams sagriezt daudzstūri prasītā veida daļās. Daļas var būt trijstūri, paralelogrami, rombi, trapeces. Jāsaliek var būt taisnstūris, cits daudzstūris. Uzdevumi, kuros jāpārklāj ģeometriska figūra ar citām. Te var būt nogriežņi, trijstūri, daudzstūri, riņķi. Uzdevumi par daudzstūru novietojumu plaknē tā lai tie nepārklājas. Uzdevumi par daudzstūru sagiešans rezultātā iegūto daļu krāsošanu un par plaknes krāsojumu īpašībām.
3.15.1.0.0 Kā taisnes sadala plakni Uzdevumi par taišņu izvietojumiem plaknē, apgabaliem, kuri rodas pēc taišņu novilkšanas.
3.15.2.0.0 Sadalīšana paralelogramos. Figūru pārklāšana ar paralelogramiem vai rombiem.
3.15.3.0.0 Sadalīšana daļās ar speciālām īpašībām. Figūru sagriešana daļās ar speciālām īpašībām.
3.15.4.0.0 Figūru pārklāšanas uzdevumi Uzdevumi par figūru pārklāšanu ar citām figūrām.
3.15.5.0.0 Uzdevumi par krāsojumiem Uzdevumi par figūru, flīzējumu vai visas plaknes krāsojumiem.
3.15.6.0.0 Ramseja teorija ģeometrijā Ramseja tipa apgalvojumi ģeometrijā: vienkrāsainas konfigurācijas krāsotās punktu kopās vai plaknē.
3.15.6.1.0 Attālumu realizācija plaknē Noteiktu attālumu realizācija krāsotā plaknē (plaknes hromatiskā skaitļa tipa uzdevumi).
3.15.6.2.0 Attālumu realizācija veselo skaitļu kopā Noteiktu attālumu realizācija veselu skaitļu vai režģa punktu kopās.
3.15.6.3.0 Sarežģītāku konfigurāciju piemēri Sarežģītāku Ramseja tipa konfigurāciju piemēri.
3.16.0.0.0 Veselie režģi Uzdevumi, kuros tiek lietotas rūtiņu režģa virsotnes vai pieminētas veselas koordinātas. Citi uzdevumi plaknē, kas sadalīta bezgalīgi daudzos regulāros trijstūrīšos, kvadrātiņos vai sešstūrīšos.
3.16.1.0.0 Daudzstūri ar virsotnēm režģa mezglos Daudzstūri ar veselu skaitļu koordinātēm. To piemēri, izliektības īpašības, laukums ar Pīka formulu.
3.16.2.0.0 Dažādi uzdevumi rūtiņu lapā Izmantot rūtiņu laukuma īpašības
3.16.2.1.0 Figūras rūtiņu plaknē Veidot figūriņas pa rūtiņu līnijām
3.16.2.2.0 Sagriešana un pārklāšana rūtiņu laukumā Risināt rūtiņu laukumu sagriešanas uzdevumus
3.17.0.0.0 Stereometrija Telpiskas figūras: taišņu un plakņu savstarpējais novietojums, daudzskaldņi un to šķēlumi ar plakni, prizmu, piramīdu, cilindru, konusu un lodes virsmas laukumi un tilpumi.
4.0.0.0.0 Skaitļu teorija Visi uzdevumi par skaitļu teoriju
4.1.0.0.0 Skaitļu dalāmība Uzdevumi par dalāmības attiecību, saliktu skaitļu un pirmskaitļu pazīšana. Uzdevumi par LKD un MKD; fiksēta skaitļa visu dalītāju režģis. Skaitļa visu dalītāju skaita un summas formulas.
4.1.1.0.0 Dalāmības pazīmes Dalāmības pazīmes, kas pārbauda dalāmību vai kongruences, izmantojot skaitļa decimālpierakstu
4.1.1.1.0 Dalāmības pazīmes ar 2 un 5 reizinājumiem Dalāmības pazīmes, kurās pietiek aplūkot dažus pēdējos ciparus
4.1.1.1.1 Dalāmības pazīmes ar 2, 4, 8 Skaitlis dalās ar \(2^k\) tad un tikai tad, ja pēdējie \(k\) cipari dalās ar \(2^k\)
4.1.1.1.2 Dalāmības pazīmes ar 5, 25 utt. Skaitlis dalās ar \(5^k\) tad un tikai tad, ja pēdējie \(k\) cipari dalās ar \(5^k\)
4.1.1.2.0 Dalāmības pazīmes ar 3 un 9 Dalāmības pazīmes ar \(3\) un \(9\)
4.1.1.3.0 Dalāmības pazīme ar 11 Skaitlis dalās ar \(11\) tad un tikai tad, ja ciparu summa pāru pozīcijās mīnus ciparu summa nepāru pozīcijās dalās ar 11
4.1.1.4.0 Citas dalāmības pazīmes Dalāmības pazīmes ar citiem skaitļiem
4.1.1.5.0 Vispārinātas dalāmības pazīmes skaitļu atlikumiem Dalāmības pazīmju vispārinājumi, kas ļauj noskaidrot atlikumus. Piemēram, katrs naturāls \(n\) ir kongruents ar savu ciparu summu \(S(n)\) pēc 9 moduļa
4.1.2.0.0 Dalāmības īpašības Veselu skaitļu dalāmības attiecības īpašības
4.1.3.0.0 LKD un MKD Lielākais kopīgais dalītājs un mazākais kopīgais dalāmais
4.1.3.1.0 Savstarpēji pirmskaitļi Vienkārši secinājumi par savstarpējiem pirmskaitļiem; sakarība \(\gcd(n,n+1)=1\). Skaitlis dalās ar savstarpējiem pirmskaitļiem t.t.t. ja tas dalās ar šo skaitļu reizinājumu.
4.1.3.2.0 LKD un MKD īpašības Formulas un sakarības ar LKD un MKD
4.1.3.3.0 Bezū identitāte Vienādojuma \(ax+by=d\) atrisināmība veselos skaitļos. Norēķini ar 2 veidu monētām.
4.1.3.3.1 Aritmētiskas progresijas dalāmība Aritmētiskas progresijas locekļu dalāmība. Visi skaitļa daudzkārtņi veido aritmētisku progresiju.
4.1.3.3.2 Daudzkārtņu atstarpes aritmētiskā progresijā Secināt, ka katrs \(p\)-tais aritmētiskas progresijas loceklis dalās ar \(p\), ja \(\mbox{LKD}(d,p)=1\)
4.1.3.3.3 Aritmētiskas progresijas atlikumi Secināt, ka aritmētiska progresija pieņem visus atlikumus, dalot ar \(p\), ja \(\mbox{LKD}(d,p)=1\)
4.1.3.4.0 Pitagora trijnieki Vienādojuma \(a^2+b^2=c^2\) bezgalīgi daudzie veselie atrisinājumi
4.1.4.0.0 Eiklīda algoritms Eiklīda algoritms \(\gcd(a,b)=d\) atrašanai kā atrisinājuma sastāvdaļa; tsk. paplašinātais algoritms Bezū identitātei \(ax+by=d\)
4.1.5.0.0 Daudzkārtņu skaits intervālā Skaitļa \(n\) daudzkārtņu skaits intervālā; arī aritmētiskas progresijas locekļu skaits kādā intervālā
4.2.0.0.0 Skaitļa pirmreizinātāji Aritmētikas pamatteorēma par dalījumu pirmreizinātājos. Uzdevumi, kas pārbauda dalāmību, tās vietā pārbaudot dalāmību ar visu pirmreizinātāju pakāpēm. Valuācija kā augstākā pirmskaitļa pakāpe, ar ko var izdalīt doto skaitli.
4.2.1.0.0 Naturāla skaitļa kanoniskais sadalījums pirmreizinātājos Aritmētikas pamatteorēma: Skaitļa \(n\) sadalījums pirmreizinātājos \(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_n^{k_n}\) ir viens vienīgs, katram pirmskaitlim \(p_i\) šajā sadalījumā ir noteikta pakāpe \(k_i\).
4.2.2.0.0 Naturālas pakāpes sadalījums savstarpēju pirmskaitļu reizinājumā Aritmētikas pamatteorēmas izmantojums strukturālas indukcijas pierādījumos vai citās situācijās, kur skaitli \(n\) izsaka kā dažādu pirmskaitļu pakāpju reizina'jumu.
4.2.3.0.0 Naturāla skaitļa dalītāju skaita un summas formulas Formulas naturāla skaitļa pozitīvo dalītāju skaita, summas vai citu pakāpju summas atrašanai.
4.2.4.0.0 Dalāmība no sadalījuma pirmreizinātājos Pārbaudīt dalāmību un izveidot visu pozitīvo dalītāju režģi, zinot skaitļa sadalījumu pirmreizinātājos
4.2.5.0.0 Pirmskaitļi Dažādu ar pirmskaitļiem saistītu apgalvojumu izmantošana skaitļu teorijas uzdevumos.
4.2.5.1.0 Pirmskaitļu kopas bezgalība Uzdevumi par pirmskaitļu kopas bezgalību, iteratīvu pirmskaitļu iegūšanu
4.2.5.2.0 Pirmskaitļu sadalījums Eratostēna režģis un apgalvojumi par pirmskaitļu izvietojumu un atstarpēm
4.2.5.3.0 Pirmskaitļu pārbaudes Algoritmi un sakarības, kas parāda, ka skaitlis ir vai nav pirmskaitlis
4.2.5.4.0 Eiklīda lemma Ja \(p\) dala \(ab\), tad \(p\) dala \(a\) vai arī \(p\) dala \(b\)
4.2.6.0.0 Faktorizācija un skaitļu īpašības Skaitļa īpašības atkarībā no tā sadalījuma pirmreizinātājos
4.2.6.1.0 Pilnu pakāpju noteikšana Pazīt pilnas pakāpes pēc tā, ka pirmreizinātāju kāpinātāji dalās ar to pašu skaitli
4.2.6.2.0 Pakāpju pielīdzināšana Pārveidot veselu skaitļu vienādojumu par sistēmu, pielīdzinot pirmskaitļu kāpinātājus.
4.3.0.0.0 Skaitīšanas sistēmas Veselu skaitļu decimālpieraksts un ciparu manipulācijas tajā; ieskaitot spēles ar skaitļa cipariem. Dalāmības pazīmes. Skaitļa pieraksts binārajā un dažās citās pozicionālajās sistēmās. Neparasti skaitļu kodējumi (ar Fibonači skaitļiem, ar "negatīviem cipariem" utt.). Decimāldaļas, periodisku daļskaitļu izteikšana ar bezgalīgas ģeometriskas progresijas summu. Neperiodiskas decimāldaļas un iracionāli skaitļi.
4.3.1.0.0 Decimālā skaitīšanas sistēma Decimālpieraksta izmantošana skaitļu teorijas uzdevumos
4.3.1.1.0 Ciparu skaits Skaitļu salīdzinājums pēc garuma, ciparu skaits darbību rezultātos
4.3.1.2.0 Ciparu skaita novērtējums divu skaitļu summā vai reizinājumā Novērtēt ciparu skaitu divu vai vairāku skaitļu summā
4.3.1.3.0 Periodiskas ciparu grupas Periodisku ciparu grupu izteikšana ar ģeometriskas progresijas summu
4.3.1.4.0 Decimāldaļskaitļi Skaitļa pieraksts ar galīgu vai bezgalīgu decimāldaļu
4.3.1.4.1 Racionālu skaitļu decimālpieraksts Nosacījumi, kad racionāla daļa ir galīga, bezgalīga periodiska un bezgalīgi periodiska ar priekšperiodu
4.3.1.4.2 Periodisku daļu aprēķināšana Periodisku daļskaitļu perioda garums, skaitlisks novērtējums ar bezgalīgu ģeometrisku progresiju
4.3.1.4.3 Neperiodiskas decimāldaļas Spriedumi par iracionāliem skaitļiem decimālpierakstā
4.3.2.0.0 Binārā skaitīšanas sistēma Skaitļu teorijas uzdevumi, kuros izmanto bināro jeb divnieku skaitīšanas sistēmu (pozicionālo sistēmu ar bāzi 2).
4.3.3.0.0 Citas skaitīšanas sistēmas Pozicionālās skaitīšanas sistēmas, kuru bāze nav 10 vai 2.
4.3.4.0.0 Skaitļa ciparu pārveidojumi Saprast, kā mainās skaitlis, ja tajā pārvieto vai iesprauž ciparus
4.3.4.1.0 Decimālpieraksts kā polinoms Izteikt skaitli ar decimālpieraksta cipariem, reizinot ar \(10^k\)
4.3.4.2.0 Izteikšana ar cipariem Izteikt skaitli gan ar cipariem, gan garākiem gabaliem
4.3.4.3.0 Izteikšana divos gabalos Izteikt garu skaitli divos gabalos, piereizinot vienu no tiem ar \(10^k\)
4.3.4.4.0 Jaunu ciparu iespraušana Veidot jaunus piemērus, iespraužot skaitļa decimālpierakstā jaunus ciparus.
4.3.5.0.0 Algoritmi veselu skaitļu darbībām Saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana stabiņā; ātrākas speciālas metodes, piemēram, skaitļu, kas beidzas ar 5, kāpināšanai kvadrātā
4.4.0.0.0 Kongruence pēc moduļa Modulārā aritmētika - saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un kāpināšana pēc moduļa. Skaitļa multiplikatīvi inversais pēc dotā moduļa. Pazīstamas teorēmas par kongruencēm - M.Fermā teorēma, Eilera teorēma, Vilsona teorēma.
4.4.1.0.0 Kongruences klases pēc fiksēta moduļa Kongruenču klases, ieviešot fiksēta skaitļa moduli.
4.4.2.0.0 Aprēķini pēc moduļa Aritmētiskas darbības (saskaitīšana, atņemšana, kāpināšana) ar kongruenču klasēm jeb atlikumiem pēc moduļa.
4.4.2.1.0 Aprēķini pēc moduļa 2 Paritātes izmantošana skaitļu teorijas piemēros
4.4.2.2.0 Aprēķini pēc pēdējā cipara Modulārā aritmētika pēc 10 vai 100 moduļa, izmantojot decimālpieraksta pēdējos ciparus.
4.4.2.3.0 Aprēķini pēc citiem moduļiem Cita modulārā aritmētika tsk. pēc mainīga moduļa.
4.4.3.0.0 Periodiskas atlikumu virknes Atlikumu virņu periodiskums
4.4.4.0.0 Mazā Fermā un Eilera teorēmas Mazā Fermā un Eilera teorēmas
4.4.5.0.0 Moduļa izvēle Piemērota moduļa izvēle uzdevumos.
4.4.5.1.0 Pretrunas modulis Pretrunas modulis - veselu skaitļu vienādojuma aplūkošana pēc konkrēta skaitļa moduļa tā, lai iegūtu pretrunu.
4.4.5.2.0 Pirmskaitļi Pirmskaitļu moduļa izvēlēšanās atrisinājumā.
4.4.5.3.0 Dažādu moduļu izmantošana Dažādu nepirmskaitļu moduļu izvēlēšanās atrisinājumā.
4.4.6.0.0 Lineāri kongruenču vienādojumi Lineāri kongruenču vienādojumi, risināšana, piemēram, ar inversajiem elementiem
4.4.7.0.0 Ķīniešu atlikumu teorēma Lineāru kongruenču risināšana, atrodot atlikumus pēc vairākiem savstarpējiem pirmskaitļiem.
4.5.0.0.0 Pārveidojumi skaitļu teorijā Veselo skaitļu aritmētikas uzdevumi, kuru risinājumā būtiski izmantoti algebriski pārveidojumi, sadalīšana reizinātājos un citas algebriskas identitātes, mainīgo aizvietošana. Algebrisku pārveidojumu aplūkošana kopsakarā ar dalāmības apsvērumiem.
4.5.1.0.0 Sadalīšana reizinātājos Dalīšana reizinātājos kā veselu skaitļu vienādojumu (un skaitļu teorijas uzdevumu) risināšanas metode.
4.5.2.0.0 Vienādojuma pārveidošana formā \(fg = c\) Vienādojumu risināšana, to pārveidojot par reizinājumu \(fg=c\).
4.5.3.0.0 Vienādojuma pārveidošana formā \(fg = u^m\) Vienādojumu risināšana, to pārveidot par reizinājumu \(fg = u^m\) - piemēram par pirmskaitļa pakāpi.
4.5.4.0.0 Identitāšu izmantošana Algebrisku identitāšu izmantošana skaitļu teorijas uzdevumu risināšanā
4.5.5.0.0 Analītiskās ģeometrijas izmantošana Diofanta vienādojumu risināšanā Veselu skaitļu uzdevumu risināšana, izmantojot analītisko ģeometriju un figūru vienādojumus veselās koordinātēs.
4.6.0.0.0 Nevienādības skaitļu teorijā Novērtējumi un nevienādības skaitļu teorijā, piemēram, lai samazinātu aplūkojamo gadījumu skaitu. Skaitļa kvalitatīvu īpašību izteikšana ar nevienādībām. Spriedumi par īsiem intervāliem un gariem intervāliem novērtējumos. Nevienādības no decimālpieraksta. Citi uzdevumi par novērtējumiem.
4.6.1.0.0 Vienādojuma abu pušu salīdzināšana pēc lieluma Skaitļu teorijas vienādojumu un nevienādību analīze, salīdzinot abas puses
4.6.2.0.0 Mazie intervāli Salīdzinājumi, kuri izmanto veselo skaitļu skaita ierobežotību īsos intervālos.
4.6.3.0.0 Lielie intervāli Salīdzinājumi, kuri saskaita veselos punktus garos intervālos.
4.7.0.0.0 Pirmskaitļa kārta jeb valuācija Valuācijas jēdziens \(\nu_p(n) = k\) fiksētam pirmskaitlim \(p\): Atrod lielāko \(k\), kuram \(n\) dalās ar \(p^k\)
4.7.1.0.0 Pirmskaitļa kārtas īpašības \(\nu_p(a+b) = \min(\nu_p(a), \nu_p(b))\), ja valuācijas atšķiras un \(\nu_p(a+b) \geq \nu_p(a)\), ja \(\nu_p(a) = \nu_p(b)\).
4.7.2.0.0 Skaitļa pieraksts formā \(p^k \cdot u\) Maksimālās kāda pirmskaitļa pakāpes atdalīšana no naturāla skaitļa tā, ka \(p^k \cdot u\) izteiksmē \(u\) nedalās ar \(p\).
4.7.3.0.0 Pirmskaitļa kārtas izmaiņas Izmantot p-valuācijas funkcijas vērtību izmaiņas
4.7.4.0.0 Kāpinātāja pacelšanas lemmas Valuācijas pakāpju starpībai \(a^n - b^n\), ja \(a - b\) dalās ar \(p\)
4.7.4.1.0 Kāpinātāja pacelšana nepāra pirmskaitlim Kāpinātāja pacelšanas lemma (Lifting the Exponent) nepāra pirmskaitlim.
4.7.4.2.0 Kāpinātāja pacelšana pie \(p=2\) Kāpinātāja pacelšanas lemma (Lifting the Exponent) pirmskaitlim \(p=2\).
4.7.5.0.0 Pirmskaitļa kārta garos reizinājumos Pirmskaitļa kārta jeb valuācija garos reizinājumos - algebriski vai kombinatoriski iegūtās izteiksmēs.
4.7.5.1.0 Ležandra formula Ležandra formula: \(\nu_p(n!) = \lfloor n/p \rfloor + \lfloor n/p^2 \rfloor + \ldots\)
4.7.5.2.0 Kummera teorēma par binomiālajiem koeficientiem Lielākā pirmskaitļa pakāpe, ar kuru dalās binomiālais koeficients izteikta ar ciparu summām
4.7.5.3.0 Lūkas teorēma par binomiālajiem koeficientiem Teorēma par binomiālo koeficientu dalāmības atlikumiem (Lūkas teorēma), kas paredz \(C_n^k\) ietilpstošos parametrus \(k\) un \(n-k\) pārveidot skaitīšanas sistēmā ar bāzi \(p\).
4.8.0.0.0 Pārlase un piemēri skaitļu teorijā Skaitļi ar neparastām īpašībām, Ķīniešu atlikumu teorēma eksistences pierādījumos. Rekurentas virknes. Veselu skaitļu un līdzīgu objektu konstruēšana ar parastu un ar strukturālu indukciju. Ātrās kāpināšanas un paplašinātais Eiklīda algoritms. Funkcionāli vienādojumi veselu skaitļu funkcijām. Gadījumu šķirošana. Skaitļa kvalitatīvu īpašību pārtulkošana par algebrisku vienādību vai kongruenci.
4.8.1.0.0 Gadījumu pārlase pēc moduļa Pilnā pārlase visiem atlikumiem pēc moduļa.
4.8.2.0.0 Pārlases ierobežošana, izmantojot dalāmību Pilnā pārlase visiem skaitļiem, kas ir dalītāji vai izpilda citu dalāmības prasību.
4.8.3.0.0 Pārlases ierobežošana, izmantojot nevienādības Pilnā pārlase veseliem skaitļiem, izmantojot nevienādības.
4.8.4.0.0 Ciparu pārlase skaitļa decimālajā pierakstā Pilnā pārlase visiem decimālpieraksta cipariem vai ciparu pozīcijām.
4.8.5.0.0 Piemēru konstrukcija Skaitļu teorijas piemēru konstruēšana
4.8.5.1.0 Skaitliskie piemēri Skaitļu teorijas piemēri konkrētiem veseliem skaitļiem.
4.8.5.2.0 Algebrisko izteiksmju izmantošana Skaitļu teorijas piemēri, izmantojot algebriskas izteiksmes.
4.8.5.2.1 Skaitļu īpašību izteikšana kvantitatīvi Izteikt kvalitatīvas skaitļu īpašības (dalāmi ar kko, pēc kārtas sekojoši, nepāru, pilni kvadrāti u.c.) ar mainīgo izteiksmēm
4.8.5.2.2 Mainīgo ieviešana Izvēlēties nedaudzus nezināmos lielumus, ar ko piemērā izteikt citus
4.8.5.3.0 Dalāmības īpašību izmantošana Uzdevumi, kuros izmantotas dažādas veselu skaitļu dalāmības īpašības.
4.8.6.0.0 Grupēšana Pierādīšanas paņēmieni, kas paredz skaitļu grupēšanu un reizinājuma (vai citas izteiksmes) novērtējumu katrā grupā atsevišķi.
4.8.6.1.0 Grupēšana pa pāriem; Vilsona teorēma Gara reizinājuma novērtēšana, sadalot reizinājumus pāros līdzīgi kā Vilsona teorēmas pierādījumā.
4.8.6.2.0 Vairāku locekļu grupēšana Vairāk nekā divu locekļu grupēšana.
4.8.7.0.0 Režģi Veselu skaitļu režģi
4.8.7.1.0 Viendimensionālie režģi Viendimensionāli režģi skaitļu intervālos
4.8.7.2.0 Divdimensionāla režģa apjoms Divdimensionāli režģi taisnstūrveida apgabalos
4.8.7.3.0 Režģa punktu skaits ierobežotā apgabalā Veselu skaitļu režģa punktu skaita novērtējumi plaknes vai telpas apgabalā.
4.8.8.0.0 Saistītie skaitļi Kvadrātiskie lauki un saistītie skaitļi
4.8.8.1.0 Saistīto skaitļu īpašības Saistīto skaitļu īpašību izmantošana
4.8.8.2.0 Saistīto skaitļu summa Saistīto skaitļu summa ir vesels skaitlis
4.8.8.3.0 Skaitļa norma Skaitļa norma kvadrātiskā laukā
4.8.8.4.0 Pella vienādojums Teorēma par Pella vienādojuma atrisinājumiem
4.9.0.0.0 Polinomi ar veseliem koeficientiem Polinomu algebras uzdevumi, kas izmanto to, ka koeficienti ir veseli skaitļi (vai arī polinoma vērtības veseliem argumentiem ir veseli skaitļi). Polinomu dalīšana ar atlikumu; Eiklīda algoritms polinomiem. Bezū identitāte polinomiem. Eizenšteina kritērijs par nereducējamību. Teorēma par racionālu sakni. Polinoma vērtību starpības dalāmība ar argumentu starpību.
4.9.1.0.0 Polinoma vērtības dažādos punktos Veselu koeficientu polinomu vērtības
4.9.2.0.0 Īpašība \((x -y) \mid P(x) - P(y)\) Teorēma: Ja \(P(x)\) koeficienti ir veseli skaitļi, tad visiem veseliem \(x\) un \(y\): \(P(x)-P(y)\) dalās ar \(x-y\).
4.9.3.0.0 Polinoma dalīšana ar atlikumu Divu polinomu dalīšana "stabiņā"
4.9.4.0.0 Vjeta formulu izmantošana Vjeta formulu izmantošana: Ja saknes ir veselas un reālas, tad ar tām var izteikt visus polinoma \(P(x)\) koeficientus.
4.9.5.0.0 Polinoma racionālās saknes Racionālo sakņu teorēma: Ja \(x=p/q\) ir \(P(x)\) racionāla sakne, tad \(P(x)\) vecākajam koeficientam jādalās ar \(q\), bet brīvajam loceklim jādalās ar \(p\).