3.3.3.0.0. Speciālu veidu trijstūri
Izmantot noteiktu trijstūru apakškopu īpašības
- Taisnleņķa trijstūri
- Vienādmalu trijstūris
- Vienādsānu trijstūri
- Trijstūri ar leņķiem \(60^{\circ}\) vai \(120^{\circ}\)
- Trijstūri, kuru malu garumi ir veseli skaitļi
LV.AMO.2017.7.3
Divus taisnstūra lapas stūrus nolocīja tā, kā parādīts 15.att. Izrādījās, ka lapas apakšējā mala tika sadalīta trīs vienāda garuma nogriežņos un augšējā mala - divos vienāda garuma nogriežņos. Pierādīt, ka iekrāsotais trijstūris ir vienādmalu!
LV.AMO.2017.7.3
Divus taisnstūra lapas stūrus nolocīja tā, kā parādīts 15.att. Izrādījās, ka lapas apakšējā mala tika sadalīta trīs vienāda garuma nogriežņos un augšējā mala - divos vienāda garuma nogriežņos. Pierādīt, ka iekrāsotais trijstūris ir vienādmalu!
LV.AMO.2003.7.4
Izliektā piecstūrī \(ABCDE\) punkti \(A_{1},\ B_{1},\ C_{1},\ D_{1},\ E_{1}\) ir attiecīgi malu \(CD,\ DE,\ EA,\ AB,\ BC\) viduspunkti. Dots, ka \(AA_{1} \perp CD,\ BB_{1} \perp DE,\ CC_{1} \perp EA\) un \(DD_{1} \perp AB\). Pierādiet, ka \(EE_{1} \perp BC\).
LV.AMO.2016.7.3
Dots, ka \(AB \| CD\) un \(AD \| BC\) (skat. 9.att.). Nogriežņu \(AC\) un \(BD\) krustpunkts ir \(M\). Uz taisnes \(AB\) izvēlēts tāds punkts \(N\), ka \(AM=MN\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle ANC=90^{\circ}\).
LV.AMO.2019.7.3
Izliektā četrstūrī \(ABCD\) leņķu \(BAD\) un \(ADC\) bisektrises krustojas punktā \(M\). Pierādīt, ka \(BM=CM\), ja zināms, ka \(AD=AB+CD\).
Piezīme. Četrstūri sauc par izliektu, ja visi tā iekšējie leņķi ir mazāki nekā \(180^{\circ}\).
LV.AMO.2015.8.5
Šaurleņķu trijstūrī \(ABC\) novilkts augstums \(CH\) un mediāna \(BK\). Zināms, ka \(CH=BK\) un \(\sphericalangle HCB=\sphericalangle KBC\). Pierādīt, ka trijstūris \(ABC\) ir vienādmalu!
LV.AMO.2024.8.4
Uz riņk̦a līnijas ar centru \(O\) ir atlikti punkti \(A, B\) un \(C\) tā, lai punkts \(O\) atrastos trijstūrī \(ABC\). Pie tam zināms, ka \(\sphericalangle AOC=\alpha\), bet \(\sphericalangle OAB=\beta\). Izteikt leņķi \(\sphericalangle BCO\) ar \(\alpha\) un \(\beta\)!
LV.AMO.2022B.8.3
In a triangle \(ABC\) on the side \(BC\) there is a point \(D\) such that \(AD = BD\) and \(AB = DC = AC\). Calculate the angles of \(ABC\)!
LV.AMO.2022B.8.3
Trijstūrī \(ABC\) uz malas \(BC\) atlikts tāds punkts \(D\), ka \(AD = BD\) un \(AB = DC = AC\). Aprēķināt trijstūra \(ABC\) leņķus!
LV.AMO.2019.8.3
Dots paralelograms \(ABCD\). Leņķa \(BAD\) bisektrise krusto malu \(BC\) iekšējā punktā \(E\) un \(CD\) pagarinājumu punktā \(F\). Pierādīt, ka \(BC=DF\), ja zināms, ka \(DE\) ir perpendikulārs \(AF\).
LV.AMO.2022A.8.3
Kvadrātā \(ABCD\) novilkta diagonāle \(AC\) un uz tās atzīmēts punkts \(E\) tā, ka \(\sphericalangle DEC=75^{\circ}\). Nogriežņa \(DE\) pagarinājums krusto malu \(AB\) punktā \(F\). Pierādīt, ka \(EF=FB\)!
LV.AMO.2023.9.3
Trijstūrī viens leņķis ir par \(120^{\circ}\) lielāks nekā otrs. Pierādīt, ka bisektrise, kas vilkta no trešā leņķa virsotnes, ir divas reizes garāka nekā augstums no tās pašas virsotnes!
LV.AMO.2019.9.3
Dots vienādsānu taisnleņķa trijstūris \(ABC\) ar taisno leņķi \(C\). Uz tā hipotenūzas konstruēts taisnstūris \(ABNM\) tā, ka punkti \(C\) un \(N\) atrodas dažādās pusēs no taisnes \(AB\) un \(AC=AM\). Nogrieznis \(CM\) krusto \(AB\) punktā \(P\). Punkts \(L\) ir malas \(MN\) viduspunkts. Nogrieznis \(CL\) krusto \(PN\) punktā \(Q\). Pierādīt, ka (A) trijstūris \(CBP\) ir vienādsānu; (B) četrstūris \(QNBC\) ir rombs!
LV.AMO.2016.9.3
Dots taisnstūris \(ABCD\). Malas \(AB\) viduspunkts ir \(M\). Zināms, ka uz malas \(BC\) var izvēlēties tādu punktu \(N\), ka \(\sphericalangle BMN=\sphericalangle CDN=30^{\circ}\). Pierādīt, ka trijstūris \(CDM\) ir vienādmalu!
LV.AMO.2016.9.3
Dots taisnstūris \(ABCD\). Malas \(AB\) viduspunkts ir \(M\). Zināms, ka uz malas \(BC\) var izvēlēties tādu punktu \(N\), ka \(\sphericalangle BMN=\sphericalangle CDN=30^{\circ}\). Pierādīt, ka trijstūris \(CDM\) ir vienādmalu!
LV.AMO.2015.9.4
Vienādsānu trapeces \(ABCD\) sānu malas ir \(AB\) un \(CD\), bet diagonāles \(AC\) un \(BD\) krustojas punktā \(E\). Ap trijstūri \(CDE\) apvilktā riņķa līnija krusto garāko pamatu \(AD\) iekšējā punktā \(F\). Nogriežņu \(CF\) un \(BD\) krustpunkts ir \(G\). Nosaki \(\sphericalangle CGD\) lielumu, ja \(\sphericalangle CAD=\alpha\)!
LV.AMO.2022B.9.3
In a right triangle \(ACB\) (\(\sphericalangle C = 90^{\circ}\)) \(CH\) is an altitude. On the side \(AC\) we mark a point \(K\) so that \(\sphericalangle CBK = \sphericalangle BAC\). Prove that the line \(CH\) divides the segment \(BK\) in half!
LV.AMO.2022B.9.3
Taisnleņķa trijstūrī \(ACB\) (\(\sphericalangle C = 90^{\circ}\)) novilkts augstums \(CH\). Uz malas \(AC\) atlikts punkts \(K\) tā, ka \(\sphericalangle CBK = \sphericalangle BAC\). Pierādīt, ka taisne \(CH\) dala nogriezni \(BK\) divās vienādās daļās!
LV.AMO.2017.9.3
Dots trijstūris \(ABC\), kuram \(AB>AC>BC\). Virsotnes \(A\) blakusleņķa bisektrise krusto malas \(BC\) pagarinājumu punktā \(D\), bet virsotnes \(C\) blakusleņķa bisektrise krusto malas \(AB\) pagarinājumu punktā \(E\). Zināms, ka \(AD=AC=CE\). Aprēķināt trijstūra \(ABC\) leņķus!