Tēma

1.1.1.0.0. Identitātes

Aritmētisku vai algebrisku identitāšu pamatošana vai lietošana izteiksmju pārveidojumos.

LV.AMO.2023.5.1

Skaitļus no \(1\) līdz \(9\) ieraksti 1. att. redzamajos mazajos trijstūros (katrā trijstūrī citu naturālo skaitli) tā, lai blakus trijstūros ierakstītie skaitļi neatšķiras vairāk kā par \(3\).
Piezīme. Par blakus trijstūriem sauksim trijstūrus, kam ir kopīga mala.

LV.AMO.2015.7.1

Deviņas vienādas cepures kopā maksā mazāk nekā \(10\) eiro, bet desmit tādas pašas vienādas cepures maksā vairāk nekā \(11\) eiro. Cik maksā viena cepure?

LV.AMO.2024.7.1

Marta, Sandris un Linda vēlas sagatavot pulciņa telpu Ziemassvētku ballītei. Zināms, ka Marta viena pati to spētu izdarīt vienā stundā, Sandris to spētu pusotrā stundā, bet Linda to spētu izdarīt trīs stundās. Marta ieradās pulciņa telpā 16:00, Sandris \(10\) minūtēs vēlāk, bet Linda vēl 15 minūtes pēc Sandra (katrs pēc ierašanās uzreiz k̦ērās pie pulciņa telpas gatavošanas). Cikos pulciņa telpa bija gatava?

LV.NOL.2009.7.1

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{3}, y=b^{5}\), \(a\) un \(b\) naturāli skaitļi?

LV.AMO.2008.7.2

Dots, ka \(x\) un \(y\) - tādi naturāli skaitļi, ka \(x \cdot y=10^{12}\). Vai var būt, ka ne \(x\), ne \(y\) nesatur savā pierakstā nevienu ciparu \(0\)?

LV.NOL.2007.7.1

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{5},\ y=b^{3}\), \(a\) un \(b\) - naturāli skaitļi?

LV.NOL.2008.7.1

Kurus naturālos skaitļus \(n\) var izsacīt formā \(n=\frac{x}{y}\), kur \(x=a^{3},\ y=b^{4},\ a\) un \(b\) - naturāli skaitļi?

LV.NOL.2006.8.1

Ir zināms, ka visiem \(x\) pastāv vienādība \(x^{4}+64=\left(x^{2}-4x+8\right) \cdot A\), kur \(A\) ir izteiksme, kas izveidota no \(x\) un naturāliem skaitļiem ar saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas operāciju palīdzību. Atrast \(A\).

LV.AMO.2016.8.1

Aprēķini dotās izteiksmes vērtību!

\[\frac{2000016 \cdot 1999984}{5^{12} \cdot 2^{13}-128}\]

LV.NOL.2013.8.4

Kvadrātā \(3 \times 3\) rūtiņas ieraksti deviņus dažādus naturālus skaitļus tā, lai katrā rindiņā ierakstīto skaitļu reizinājums un katrā kolonnā ierakstīto skaitļu reizinājums būtu viens un tas pats.

LV.AMO.2015.8.1

Nosaki, vai izteiksmes \(\sqrt{6+2 \sqrt{5}}-\sqrt{6-2 \sqrt{5}}\) vērtība ir racionāls skaitlis!

LV.NOL.2012.8.1

Skaitli \(3999991\) uzrakstīt kā divu veselu skaitļu reizinājumu tā, lai katrs no reizinātājiem ir lielāks nekā \(1\).

LV.AMO.2018.8.1

Vienkāršot izteiksmi \(\left(x^{2}-2 x+1\right)\left(x^{4}+1\right)^{2}\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x^{4}+2x^{2}+1\right)\).

LV.AMO.2015.8.3

Atrast vienu naturālu skaitli, kas lielāks nekā \(2015\) un ko nevar izteikt kā naturāla skaitļa kvadrāta un pirmskaitļa summu.

LV.NOL.2013.8.1

Skaitli \(8999999\) uzraksti kā divu veselu skaitļu reizinājumu tā, lai katrs no reizinātājiem ir lielāks nekā \(1\).

LV.NOL.2010.8.1

Kuru no skaitļiem \(102^{2} \cdot 103^{2} \cdot \ldots \cdot 199^{2}\) un \(\left(102^{2}-1\right)\left(103^{2}-1\right) \ldots\left(199^{2}-1\right)\) sadalot pirmskaitļu reizinājumā, iegūst vairāk dažādu pirmskaitļu? Par cik vairāk?

(Paskaidrojums: \(24=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\) satur divus dažādus pirmskaitļus- \(2\) un \(3\).)

LV.AMO.2003.8.5

Uz katras no divām lapām jāuzraksta pa \(n\) veseliem pozitīviem skaitļiem. Visiem \(2n\) uzrakstītajiem skaitļiem jābūt dažādiem. Pie tam uz lapām uzrakstīto skaitļu summām jābūt vienādām savā starpā, un uzrakstīto skaitļu kvadrātu summām arī jābūt vienādām savā starpā.

Vai tas iespējams, ja (A) \(n=3\), (B) \(n=4\), (C) \(n=2003\)?

LV.AMO.2015.8.4

Divu taisnstūra paralēlskaldņu visu šķautņu garumi ir naturāli skaitļi. Pirmā paralēlskaldņa trīs dažādo skaldņu perimetri ir \(p_{1}\), \(q_{1}\), \(r_{1}\), bet otrā \(p_{2}\), \(q_{2}\), \(r_{2}\), turklāt \(p_{1} < p_{2}\), \(q_{1} < q_{2}\) un \(r_{1} < r_{2}\). Vai var apgalvot, ka pirmā paralēlskaldņa tilpums ir mazāks nekā otrā paralēlskaldņa tilpums?

LV.AMO.2019.9.5

Vai eksistē tāds kvadrātvienādojums ar veseliem koeficientiem, kuram ir sakne

\[(\sqrt{2020}-2 \sqrt{2019}+\sqrt{2018})(\sqrt{2020}+\sqrt{2019})(\sqrt{2019}+\sqrt{2018})(\sqrt{2020}+\sqrt{2018})?\]

LV.AMO.2016.10.3

Aritmētiskās progresijas četri pēc kārtas ņemti locekļi ir veseli skaitļi \(A, B, C\) un \(D\). Pierādīt, ka \(A^{2}+2B^{2}+3C^{2}+4D^{2}\) var izteikt kā divu veselu skaitļu kvadrātu summu!

LV.NOL.2010.10.2

Dots, ka \(a\) un \(b\) ir naturāli skaitļi, \(a^{2}\) dalās ar \(b\) un \(b^{2}\) dalās ar \(a\). Pierādīt, ka \((a-b)^{3}\) dalās ar \(a \cdot b\). Vai noteikti \((a-b)^{2}\) dalās ar \(a \cdot b\)?

LV.VOL.2011.10.4

Dots polinoms \(f(x)\) ar veseliem koeficientiem. Vai iespējams, ka \(f(2011)=100\), bet \(f(11)=1000\)?

LV.AMO.2016.10.3

Aritmētiskās progresijas četri pēc kārtas ņemti locekļi ir veseli skaitļi \(A, B, C\) un \(D\). Pierādīt, ka \(A^{2}+2B^{2}+3C^{2}+4D^{2}\) var izteikt kā divu veselu skaitļu kvadrātu summu!

LV.NOL.2010.10.4

Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^{3}=y!+2\).

LV.AMO.2019.10.4

Kādām naturālām \(n\) vērtībām izteiksme \(n^{2}+n+19\) ir kāda naturāla skaitļa kvadrāts?

LV.VOL.2016.11.3

Pierādīt, ka katram naturālam skaitlim \(n(n>1)\) var atrast tādus naturālus skaitļus \(x\) un \(y(x \leq y)\), ka

\[\frac{1}{n}=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\cdots+\frac{1}{y(y+1)}\]