3.3.0.0.0. Trijstūris
Uzdevumos dots trijstūris un ar to saistīti punkti vai taisnes, vai riņķa līnijas. Trijstūris un tā ievilktā un apvilktā riņķa līnija. Taisnleņķa trijstūri. Vienādmalu trijstūris. Vienādsānu trijstūri. Trijstūri ar leņķiem \(60^{\circ}\) vai \(120^{\circ}\).Trijstūri, kuru malu garumi ir veseli skaitļi. Ar trijstūri saistītas līnijas un ģeometriskas sakarības. Menelaja teorēma. Čevas teorēma. Simsona taisne. Pēdas punktu trijstūris. Eilera taisne un deviņu punktu riņķa līnija. Brokāra punkti . Lemuāna punkts.
- Metriskas sakarības trijstūrī
- Trijstūris un tā ievilktā un apvilktā riņķa līnija
- Speciālu veidu trijstūri
- Trijstūru vienādības pazīmes ("mmm", "mlm", "lml").
- Trijstūru līdzība
- Jaunu konstrukciju pievienošana trijstūrim
LV.AMO.2016.7.3
Dots, ka \(AB \| CD\) un \(AD \| BC\) (skat. 9.att.). Nogriežņu \(AC\) un \(BD\) krustpunkts ir \(M\). Uz taisnes \(AB\) izvēlēts tāds punkts \(N\), ka \(AM=MN\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle ANC=90^{\circ}\).
LV.AMO.2019.7.3
Izliektā četrstūrī \(ABCD\) leņķu \(BAD\) un \(ADC\) bisektrises krustojas punktā \(M\). Pierādīt, ka \(BM=CM\), ja zināms, ka \(AD=AB+CD\).
Piezīme. Četrstūri sauc par izliektu, ja visi tā iekšējie leņķi ir mazāki nekā \(180^{\circ}\).
LV.AMO.2017.7.3
Divus taisnstūra lapas stūrus nolocīja tā, kā parādīts 15.att. Izrādījās, ka lapas apakšējā mala tika sadalīta trīs vienāda garuma nogriežņos un augšējā mala - divos vienāda garuma nogriežņos. Pierādīt, ka iekrāsotais trijstūris ir vienādmalu!
LV.AMO.2014.7.1
Trijstūrī \(ABC\) novilkts augstums \(BD\) un mediāna \(BE\). Kāds var būt \(AC\) garums, ja \(ED=4~\mathrm{cm}\) un \(DC=5~\mathrm{cm}\) ?
LV.AMO.2019.7.3
Izliektā četrstūrī \(ABCD\) leņķu \(BAD\) un \(ADC\) bisektrises krustojas punktā \(M\). Pierādīt, ka \(BM=CM\), ja zināms, ka \(AD=AB+CD\).
Piezīme. Četrstūri sauc par izliektu, ja visi tā iekšējie leņķi ir mazāki nekā \(180^{\circ}\).
LV.AMO.2017.7.3
Divus taisnstūra lapas stūrus nolocīja tā, kā parādīts 15.att. Izrādījās, ka lapas apakšējā mala tika sadalīta trīs vienāda garuma nogriežņos un augšējā mala - divos vienāda garuma nogriežņos. Pierādīt, ka iekrāsotais trijstūris ir vienādmalu!
LV.AMO.2003.7.4
Izliektā piecstūrī \(ABCDE\) punkti \(A_{1},\ B_{1},\ C_{1},\ D_{1},\ E_{1}\) ir attiecīgi malu \(CD,\ DE,\ EA,\ AB,\ BC\) viduspunkti. Dots, ka \(AA_{1} \perp CD,\ BB_{1} \perp DE,\ CC_{1} \perp EA\) un \(DD_{1} \perp AB\). Pierādiet, ka \(EE_{1} \perp BC\).
LV.AMO.2016.7.3
Dots, ka \(AB \| CD\) un \(AD \| BC\) (skat. 9.att.). Nogriežņu \(AC\) un \(BD\) krustpunkts ir \(M\). Uz taisnes \(AB\) izvēlēts tāds punkts \(N\), ka \(AM=MN\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle ANC=90^{\circ}\).
LV.AMO.2019.7.3
Izliektā četrstūrī \(ABCD\) leņķu \(BAD\) un \(ADC\) bisektrises krustojas punktā \(M\). Pierādīt, ka \(BM=CM\), ja zināms, ka \(AD=AB+CD\).
Piezīme. Četrstūri sauc par izliektu, ja visi tā iekšējie leņķi ir mazāki nekā \(180^{\circ}\).
LV.AMO.2015.8.5
Šaurleņķu trijstūrī \(ABC\) novilkts augstums \(CH\) un mediāna \(BK\). Zināms, ka \(CH=BK\) un \(\sphericalangle HCB=\sphericalangle KBC\). Pierādīt, ka trijstūris \(ABC\) ir vienādmalu!
LV.AMO.2017.8.3
Taisnstūrveida papīra lapu pārlocīja tā, ka pārlocītais lapas stūris atrodas uz pretējās malas (skat. 20.att.). Trijstūri \(AFE\) un \(CBE\) ir vienādi un \(CB=7~\mathrm{cm}\), bet \(BD=3~\mathrm{cm}\). Kādi ir sākotnējās papīra lapas malu garumi?
LV.AMO.2022A.8.3
Kvadrātā \(ABCD\) novilkta diagonāle \(AC\) un uz tās atzīmēts punkts \(E\) tā, ka \(\sphericalangle DEC=75^{\circ}\). Nogriežņa \(DE\) pagarinājums krusto malu \(AB\) punktā \(F\). Pierādīt, ka \(EF=FB\)!
LV.AMO.2016.8.4
Dota taisnleņķa trapece \(ABCD\), kuras īsākā sānu mala ir \(BC\). Malu \(AD\) un \(CD\) viduspunkti attiecīgi ir \(M\) un \(K\), bet diagonāles \(AC\) viduspunkts ir \(N\). Pierādīt, ka \(\triangle MNB=\triangle CKM\).
LV.AMO.2022A.8.1
Taisnes \(y=x\) un \(y = -2x+2022\) krustojas punktā \(A\). Punkti \(B\) un \(C\) ir attiecīgi šo taišņu krustpunkti ar \(y\) asi. Aprēķināt trijstūra \(ABC\) laukumu!
LV.AMO.2015.8.5
Šaurleņķu trijstūrī \(ABC\) novilkts augstums \(CH\) un mediāna \(BK\). Zināms, ka \(CH=BK\) un \(\sphericalangle HCB=\sphericalangle KBC\). Pierādīt, ka trijstūris \(ABC\) ir vienādmalu!
LV.AMO.2024.8.4
Uz riņk̦a līnijas ar centru \(O\) ir atlikti punkti \(A, B\) un \(C\) tā, lai punkts \(O\) atrastos trijstūrī \(ABC\). Pie tam zināms, ka \(\sphericalangle AOC=\alpha\), bet \(\sphericalangle OAB=\beta\). Izteikt leņķi \(\sphericalangle BCO\) ar \(\alpha\) un \(\beta\)!
LV.AMO.2022B.8.3
In a triangle \(ABC\) on the side \(BC\) there is a point \(D\) such that \(AD = BD\) and \(AB = DC = AC\). Calculate the angles of \(ABC\)!
LV.AMO.2022B.8.3
Trijstūrī \(ABC\) uz malas \(BC\) atlikts tāds punkts \(D\), ka \(AD = BD\) un \(AB = DC = AC\). Aprēķināt trijstūra \(ABC\) leņķus!
LV.AMO.2019.8.3
Dots paralelograms \(ABCD\). Leņķa \(BAD\) bisektrise krusto malu \(BC\) iekšējā punktā \(E\) un \(CD\) pagarinājumu punktā \(F\). Pierādīt, ka \(BC=DF\), ja zināms, ka \(DE\) ir perpendikulārs \(AF\).
LV.AMO.2022A.8.3
Kvadrātā \(ABCD\) novilkta diagonāle \(AC\) un uz tās atzīmēts punkts \(E\) tā, ka \(\sphericalangle DEC=75^{\circ}\). Nogriežņa \(DE\) pagarinājums krusto malu \(AB\) punktā \(F\). Pierādīt, ka \(EF=FB\)!
LV.AMO.2016.8.4
Dota taisnleņķa trapece \(ABCD\), kuras īsākā sānu mala ir \(BC\). Malu \(AD\) un \(CD\) viduspunkti attiecīgi ir \(M\) un \(K\), bet diagonāles \(AC\) viduspunkts ir \(N\). Pierādīt, ka \(\triangle MNB=\triangle CKM\).
LV.AMO.2016.9.3
Dots taisnstūris \(ABCD\). Malas \(AB\) viduspunkts ir \(M\). Zināms, ka uz malas \(BC\) var izvēlēties tādu punktu \(N\), ka \(\sphericalangle BMN=\sphericalangle CDN=30^{\circ}\). Pierādīt, ka trijstūris \(CDM\) ir vienādmalu!
LV.AMO.2015.9.4
Vienādsānu trapeces \(ABCD\) sānu malas ir \(AB\) un \(CD\), bet diagonāles \(AC\) un \(BD\) krustojas punktā \(E\). Ap trijstūri \(CDE\) apvilktā riņķa līnija krusto garāko pamatu \(AD\) iekšējā punktā \(F\). Nogriežņu \(CF\) un \(BD\) krustpunkts ir \(G\). Nosaki \(\sphericalangle CGD\) lielumu, ja \(\sphericalangle CAD=\alpha\)!
LV.AMO.2023.9.3
Trijstūrī viens leņķis ir par \(120^{\circ}\) lielāks nekā otrs. Pierādīt, ka bisektrise, kas vilkta no trešā leņķa virsotnes, ir divas reizes garāka nekā augstums no tās pašas virsotnes!
LV.AMO.2019.9.3
Dots vienādsānu taisnleņķa trijstūris \(ABC\) ar taisno leņķi \(C\). Uz tā hipotenūzas konstruēts taisnstūris \(ABNM\) tā, ka punkti \(C\) un \(N\) atrodas dažādās pusēs no taisnes \(AB\) un \(AC=AM\). Nogrieznis \(CM\) krusto \(AB\) punktā \(P\). Punkts \(L\) ir malas \(MN\) viduspunkts. Nogrieznis \(CL\) krusto \(PN\) punktā \(Q\). Pierādīt, ka (A) trijstūris \(CBP\) ir vienādsānu; (B) četrstūris \(QNBC\) ir rombs!
LV.AMO.2016.9.3
Dots taisnstūris \(ABCD\). Malas \(AB\) viduspunkts ir \(M\). Zināms, ka uz malas \(BC\) var izvēlēties tādu punktu \(N\), ka \(\sphericalangle BMN=\sphericalangle CDN=30^{\circ}\). Pierādīt, ka trijstūris \(CDM\) ir vienādmalu!
LV.AMO.2003.9.4
Trijstūra \(ABC\) ievilktā riņķa centrs ir \(I\). Dots, ka \(CA+AI=CB\). Pierādīt, ka \(\sphericalangle BAC=2 \sphericalangle CBA\).
LV.AMO.2012.9.2
Trijstūrī \(ABC\) \(\sphericalangle ABC=90^{\circ}\), bet punkts \(P\) atrodas uz malas \(AB\). Punkti \(M\) un \(N\) ir attiecīgi nogriežņu \(AC\) un \(PC\) viduspunkti. Pierādi, ka \(\sphericalangle BAC=\sphericalangle BMN\)
LV.AMO.2018.9.3
Ap vienādsānu trijstūri \(ABC\) (\(AB=AC\)) apvilkta riņķa līnija. Caur virsotni \(B\) un loka \(AB\) (kas nesatur \(C\)) iekšēju punktu \(D\) novilkta taisne, uz kuras atzīmēts punkts \(E\) tā, ka \(AD=AE\). Pierādīt, ka trijstūri \(ABC\) un \(ADE\) ir līdzīgi!
LV.AMO.2024.9.4
Uz paralelograma \(ABCD\) malām \(BC\) un \(CD\) atzīmēti attiecīgi punkti \(E\) un \(F\). Nogriežņu \(AE\) un \(BF\) krustpunkts ir \(G\), nogriežņu \(AF\) un \(ED\) krustpunkts ir \(I\), bet \(BF\) un \(ED\) krustpunkts ir \(H\). Pamatot, ka \(S_{AGHI} = S_{BEG}+S_{CEHF}+S_{DFI}\).
LV.AMO.2022B.9.3
In a right triangle \(ACB\) (\(\sphericalangle C = 90^{\circ}\)) \(CH\) is an altitude. On the side \(AC\) we mark a point \(K\) so that \(\sphericalangle CBK = \sphericalangle BAC\). Prove that the line \(CH\) divides the segment \(BK\) in half!
LV.AMO.2022B.9.3
Taisnleņķa trijstūrī \(ACB\) (\(\sphericalangle C = 90^{\circ}\)) novilkts augstums \(CH\). Uz malas \(AC\) atlikts punkts \(K\) tā, ka \(\sphericalangle CBK = \sphericalangle BAC\). Pierādīt, ka taisne \(CH\) dala nogriezni \(BK\) divās vienādās daļās!
LV.AMO.2017.9.3
Dots trijstūris \(ABC\), kuram \(AB>AC>BC\). Virsotnes \(A\) blakusleņķa bisektrise krusto malas \(BC\) pagarinājumu punktā \(D\), bet virsotnes \(C\) blakusleņķa bisektrise krusto malas \(AB\) pagarinājumu punktā \(E\). Zināms, ka \(AD=AC=CE\). Aprēķināt trijstūra \(ABC\) leņķus!
LV.AMO.2022A.9.3
Izliektā sešstūrī \(ABCDEF\) pretējās malas ir pa pāriem paralēlas, tas ir, \(AB \| DE\), \(BC \| EF\) un \(CD \| AF\). Zināms, ka \(AB=DE\). Pierādīt, ka \(BC=EF\) un \(CD=AF\).
LV.AMO.2016.9.3
Dots taisnstūris \(ABCD\). Malas \(AB\) viduspunkts ir \(M\). Zināms, ka uz malas \(BC\) var izvēlēties tādu punktu \(N\), ka \(\sphericalangle BMN=\sphericalangle CDN=30^{\circ}\). Pierādīt, ka trijstūris \(CDM\) ir vienādmalu!