Skolotājs uz tāfeles uzrakstīja kvadrātvienādojumu \(x^2+10x+20=0\). Pēc tam katrs skolēns pēc kārtas palielināja vai samazināja par \(1\) vai nu koeficientu pie \(x\), vai brīvo locekli (bez \(x\)). Galarezultātā uz tāfeles palika uzrakstīts kvadrātvienādojums \(x^2+20x+10=0\). Vai noteikti var apgalvot, ka kādā brīdī uz tāfeles bija uzrakstīts kvadrātvienādojums ar veselām saknēm?
Jā, kvadrātvienādojums ar veselām saknēm vienmēr atradīsies.
Apzīmēsim koeficientus uz tāfeles kā \(x^2+bx+c=0\). Sākumā \((b,c)=(10,20)\), bet beigās \((b,c)=(20,10)\). Aplūkosim starpību \(d=b-c\). Sākumā \(d=10-20=-10\), bet beigās \(d=20-10=10\). Ievērosim, ka starpība \(d\) vienmēr mainās tieši par \(\pm 1\), jo:
Tā kā sākumā \(d=-10\) un beigās \(d=10\), tad kaut kādā brīdī \(d\) vērtība bija vienāda ar \(1\). Tas nozīmē, ka \(d=b-c=1\) jeb \(b=c+1\). Tādā gadījumā uz tāfeles ir uzrakstīts kvadrātvienādojums \(x^2+(c+1)x+c=0\) un tam ir \(2\) veselas saknes: \(-1\) un \(-c\).