Vai eksistē tāds naturāls skaitlis \(n\), ka tam var atrast trīs dažādus tā dalītājus \(a, b, c\), kuri ir lielāki par \(1\) un kuriem izpildās, ka skaitlis \((a-1)(b-1)(c-1)\) dalās ar: (A) \(n\); (B) \(n^2\)?
(A) Jā, eksistē.
Der, piemēram, \(n=60\), \(a=4\), \(b=5\), \(c=6\), jo tādā gadījumā \((a-1)(b-1)(c-1)=(4-1)(5-1)(6-1)=60\), tātad visas dalāmības izpildās.
(B) Nē, neeksistē.
Pieņemsim pretējo, ka eksistē. Nezaudējot vispārīgumu, pieņemsim, ka \(c<b<a\). Ievērosim, ka, tā kā \(n\) dalās ar \(a\), tad \(n^2:a^2\), līdz ar to ir jāizpildās \((a-1)(b-1)(c-1):a^2\). Ievērosim, ka skaitļi \(a\) un \(a-1\) ir savstarpēji pirmskaitļi, tāpēc \(a^2\) un \(a-1\) arī ir savstarpēji pirmskaitļi. Tas nozīmē, ka \((b-1)(c-1):a^2\). Ievērosim, ka
\[ (b-1)(c-1)=bc-b-c+1<bc<a^2, \]
līdz ar to dalāmība nevar izpildīties. Secinām, ka mūsu pieņēmums ir aplams, līdz ar to skaitlis \(n\), kas apmierina uzdevuma prasības, neeksistē.