Ilmārs un Kims spēlē spēli, pamīšus izdarot gājienus, Ilmārs sāk pirmais. Sākumā uz tāfeles ir uzrakstīts skaitlis \(2\). Savā gājienā spēlētājs nodzēš uz tāfeles uzrakstīto skaitli \(x\) un tā vietā uzraksta kādu naturālu skaitli \(y\), kuram \(x<y<2x\). Uzvar tas spēlētājs, kas uzraksta uz tāfeles skaitli (A) \(31\); (B) \(2026\). Kuram spēlētājam ir uzvaroša stratēģija?
(B) Ievērosim, ka, ja spēlētājs savā gājienā uzraksta skaitli \(k\), tad savā nākamajā gājienā viņš noteikti var uzrakstīt vai nu skaitli \(2k\), vai arī \(2k+1\).
Patiešām, ja spēlētājs uzraksta uz tāfeles skaitli \(k\), tad pretinieks nākamajā gājienā var iegūt tikai skaitli no intervāla \([k+1;2k-1]\). Redzams, ka pat pašam mazākajam skaitlim no šī intervāla \(k+1\) izpildās nevienādības \(k+1<2k<2(k+1)\) un \(k+1<2k+1<2(k+1)\), un acīmredzami tās izpildīsies arī visiem pārējiem skaitļiem no šī intervāla, tātad gan skaitli \(2k\), gan \(2k+1\) viņš savā nākamajā gājienā uzrakstīt varēs.
No šī varam secināt, ka spēlētājs, kurš savā gājienā uzrakstīs skaitli \(1013\), var garantēti uzvarēt (jo savā nākamajā gājienā viņš vienmēr varēs uzrakstīt skaitli \(2\cdot 1013=2026\)). Līdzīgi spriežot, spēlētājs, kurš savā gājienā uzrakstīs skaitli \(506\), arī var garantēt uzvaru (jo tad savā nākamajā gājienā viņš varēs uzrakstīt skaitli \(2\cdot 506+1=1013\) un aiznākamajā – \(2026\)). Analoģiski turpinot šo virkni, iegūsim, ka uzvaru var garantēt tas spēlētājs, kas savā gājienā uzraksta skaitli
\[ 2026, 1013, 506, 253, 126, 63, 31, 15, 7, 3 \]
(šajā virknē katrs skaitlis \(k\) ir izsakāms no iepriekšējā, kā \(\frac{k}{2}\), ja \(k\) ir pāra, un \(\frac{k-1}{2}\), ja \(k\) ir nepāra). Tātad uzvarēs pirmais spēlētājs (Ilmārs), jo savā pirmajā gājienā viņš varēs uzrakstīt skaitli \(3\) (un tad attiecīgi savā otrajā gājienā skaitli \(7\), savā trešajā gājienā skaitli \(15\) utt.). **(A)** Ievērosim, ka (B) gadījumā iegūtajā virknē ir arī skaitlis \(31\), tātad, ievērojot to pašu stratēģiju, Ilmārs atkal var garantēt uzvaru.