Atrisinājums

Atbilde ir \(n = 2\).

Pieņemsim, ka eksistē latviska skaitļu kopa, kas sastāv no \(n \geq 3\) elementiem. Aplūkosim \(3\) šīs kopas lielākos elementus \(a < b < c\). No uzdevuma nosacījumiem izriet, ka \((a^2 + 1): b\) un \((a^2 + 1): c\). Ja skaitļiem \(b,c\) ir kopīgs dalītājs \(d\), tad tā kā \((b^2 + 1):c\) no uzdevuma nosacījumiem un \(d\) dala gan \(c\), gan \(b^2\), tad tam ir jādala \(1\). Secinām, ka \(b,c\) ir savstarpēji pirmskaitļi, līdz ar to \((a^2 + 1):bc\). Taču ievērosim, ka \(a^2 + 1 < bc\), tāpēc dalāmība nevar izpildīties.

Tagad pierādīsim, ka eksistē latviska skaitļu kopa, kas sastāv no \(2\) elementiem. Vajag atrast naturālu skaitļu pārus \(x,y > 2026\), kuriem izpildās, ka \((y^2 + 1):x\) un \((x^2 + 1):y\). Ievērosim, ka, ja mēs atradīsim skaitļu pārus, kuriem izpildās \(x^2 + y^2 + 1 = 3xy\), tad

\[ (x^2 + y^2 + 1):x \Longrightarrow (y^2 + 1):x \]

\[ (x^2 + y^2 + 1):y \Longrightarrow (x^2 + 1):y. \]

Pierādīsim, ka, ja \((x_0,y_0)\) ir vienādojuma \(x^2 + y^2 + 1 = 3xy\) atrisinājums, tad arī \((y_0,3y_0 - x_0)\) ir atrisinājums. Patiešām

\[ y_0^2 + (3y_0 - x_0)^2 + 1 = 3y_0(3y_0 - x_0) \]

\[ y_0^2 + 9y_0^2 - 6x_0y_0 + x_0^2 + 1 = 9y_0^2 - 3x_0y_0 \]

\[ x_0^2 + y_0^2 + 1 = 3x_0y_0. \]

Pēdējā sakarība ir patiesa, jo pēc pieņēmuma \((x_0,y_0)\) ir vienādojuma \(x^2 + y^2 + 1 = 3xy\) atrisinājums. Līdz ar to, tā kā \((1,1)\) ir vienādojuma \(x^2 + y^2 + 1 = 3xy\) atrisinājums, tad varam iegūt šādu bezgalīgu atrisinājumu virkni:

\[ (1,1) \to (1,2) \to (2,5) \to (5,13) \to \ldots \]

Redzam, ka, turpinot šo atrisinājumu virkni pietiekami ilgi, iegūsim atrisinājumu, kurā \(x,y > 2026\), kas arī atrisina uzdevumu.