Atrisinājums

Tā kā \(AE \parallel BD\), tad \(ABDE\) ir vienādsānu trapece, tāpēc \(AB = DE\). Ievērosim, ka \(\angle BAX = \angle BDC = \angle EDY = \alpha\) un \(\angle ABX = \angle DBC = \angle DEY = \beta\), kur mēs izmantojām to, ka leņķi, kas balstās uz vienu un to pašu loku, ir vienādi. Secinām, ka \(\triangle ABX = \triangle DEY\) pēc pazīmes \(\ell m \ell\). Tādā gadījumā \(BX = YE\) kā vienādos trijstūros atbilstošie elementi.

Ievērosim, ka \(OB = OA = OE = OD\) kā rādiusi un \(\angle BOA = \angle EOD\), jo loki \(AB\) un \(DE\) ir vienādi, kas nozīmē, ka \(\angle OBA = \angle OAB = \angle OED = \angle ODE\). Tādā gadījumā

\[\angle XBO = \angle OBA - \angle ABX = \angle OED - \angle YED = \angle YEO.\]

Secinām, ka \(\triangle XBO = \triangle YEO\) pēc pazīmes \(m\ell m\). Tādā gadījumā \(\angle BXO = \angle OYE\) kā vienādos trijstūros atbilstošie elementi. Pieņemsim, ka trijstūra \(BXO\) apvilktā riņķa līnija krusto \(\omega\) punktā \(T\). Ievērosim, ka \(\angle BTO = 180^\circ - \angle BXO = 180^\circ - \angle OYE = \angle OYC\). Pieņemsim, ka taisnes \(CE\) un \(BT\) krustojas punktā \(Z\). Tādā gadījumā esam ieguvuši, ka \(\angle ZTO = \angle OYZ\), kas nozīmē, ka ap četrstūri \(OYTZ\) var apvilkt riņķa līniju. Ievērosim, ka \(\angle ZYD = \angle YDE + \angle YED = \alpha + \beta\) kā trijstūra \(YDE\) ārējais leņķis. Atzīmēsim arī to, ka

\[\angle BCD = 180^\circ - \angle DBC - \angle CDB = 180^\circ - \beta - \alpha = \angle BTD\]

kā leņķi, kas balstās uz vienu un to pašu loku. Secinām, ka \(\angle BTD + \angle ZYD = 180^\circ\), kas nozīmē, ka ap četrstūri \(ZTYD\) var apvilkt riņķa līniju. Esam ieguvuši, ka četrstūri \(OYTZ\) un \(ZTYD\) ir ievilkti. Tādā gadījumā punkti \(O\) un \(D\) pieder trijstūrim \(ZTY\) apvilktai riņķa līnijai, tāpēc visi pieci punkti \(Z,T,Y,O,D\) atrodas uz vienas riņķa līnijas. Secinām, ka ap četrstūri \(OYDT\) var apvilkt riņķa līniju, kas atrisina uzdevumu.