Atrast visus naturālo skaitļu trijniekus \(a,b,c\), kuriem eksistē tādi naturāli skaitļi \(x,y,z\), ka \(ab+1=x!\), \(bc+1=y!\) un \(ca+1=z!\).
Piezīme. Ar \(n!\) apzīmē skaitļa \(n\) faktoriālu – pirmo \(n\) naturālo skaitļu reizinājumu, piemēram, \(5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120\).
Nezaudējot vispārīgumu, pieņemsim, ka \(a\leq b\leq c\). Tādā gadījumā \(ab\leq ac\leq bc\) un
\[ ab+1\leq ac+1\leq cb+1\Rightarrow x\leq z\leq y. \]
Tā kā \(z!\vdots x!\) un \(y!\vdots x!\), jo \(x\leq z\) un \(x\leq y\), tad secinām, ka \((ca+1)\vdots (ab+1)\) un \((bc+1)\vdots (ab+1)\). Pamanīsim, ka\[ a(c-b)=((ca+1)-(ab+1))\vdots (ab+1) \]
\[ b(c-a)=((bc+1)-(ab+1))\vdots (ab+1). \]
Ievērosim, ka \(\text{LKD}(ab+1,a)=\text{LKD}(bc+1,b)=1\), līdz ar to \((c-b)\vdots (ab+1)\) un \((c-a)\vdots (ab+1)\). Tas nozīmē, ka\[ (c-a)-(c-b)=(b-a)\vdots (ab+1). \]
Lai šī dalāmība izpildītos, ir jābūt patiesai nevienādībai \(ab+1\leq b-a\), taču ievērosim, ka \(b-a<b\leq ba<ba+1\), tāpēc dalāmība var izpildīties tad un tikai tad, ja \(a-b=0\) jeb \(a=b=t\), kur \(t\) ir kaut kāds naturāls skaitlis. Ievērosim, ka tādā gadījumā \(t^2+1=x!\). Ja \(x\geq 3\), tad \(x!\) dalās ar \(3\), kas nozīmē, ka \((t^2+1)\vdots 3\). Taču \(t^2\) dod atlikumus \(0\) vai \(1\), dalot ar \(3\), tāpēc \((t^2+1)\nvdots 3\). Secinām, ka \(x=1\) vai \(x=2\). Acīmredzami, ka \(x=1\) nav iespējams, tāpēc \(x=2\), kas nozīmē, ka \(a=b=1\). Tādā gadījumā \(c+1=y!\), kas nozīmē, ka \(c=y!-1\). Secinām, ka visi iespējamie atrisinājumi ir \((t!-1,1,1)\), \((1,t!-1,1)\) un \((1,1,t!-1)\).