Atrisinājums.

(A) Lielākā iespējamā \(C\) vērtība ir \(C=\frac{4}{9}\).

Ja \(x=y=z=\frac{1}{3}\), tad \(x+y+z=1\) un \(x^2+y=y^2+z=z^2+x=\frac{4}{9}\), kas nozīmē, ka \(\frac{4}{9}\geq C\). Tagad pierādīsim, ka jebkurai triādei izpildās, ka

\[ \max(x^2+y, y^2+z, z^2+x)\geq \frac{4}{9}. \]

Ievērosim, ka visiem reāliem skaitļiem \(a,b,c\) izpildās, ka \(\max(a,b,c)\geq \frac{a+b+c}{3}\), tāpēc, ja mēs pierādītu, ka

\[ \frac{(x^2+y)+(y^2+z)+(z^2+x)}{3}\geq \frac{4}{9} \]

\[ x^2+y^2+z^2+x+y+z\geq \frac{4}{3} \]

\[ x^2+y^2+z^2+1\geq \frac{4}{3} \]

\[ x^2+y^2+z^2\geq \frac{1}{3}, \]

tad prasītais būtu pierādīts. Taču, izmantojot to, ka \(x+y+z=1\), varam iegūt, ka

\[ x^2+y^2+z^2\geq \frac{1}{3} \]

\[ 3(x^2+y^2+z^2)\geq 1 \]

\[ 3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2 \]

\[ 3(x^2+y^2+z^2)\geq x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx \]

\[ 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\geq 0 \]

\[ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0. \]

Pēdējā nevienādība ir patiesa, jo reālu skaitļu kvadrātu summa ir nenegatīvs lielums. Tā kā šī nevienādība tika iegūta, ekvivalenti pārveidojot sākotnējo nevienādību, tad arī sākotnējā nevienādība ir patiesa. **(B)** Tagad pierādīsim, ka neeksistē tāda konstante, ka \(\min(x^2+y, y^2+z, z^2+x)\leq C\). Aplūkosim skaitļus \(x=0\), \(y=t\), \(z=1-t\), kur \(t\) ir reāls skaitlis. Tad

\[ \min(x^2+y, y^2+z, z^2+x)=\min(t, t^2-t+1, 1-2t+t^2) \]

Ievērosim, ka jebkurai \(t>3\) vērtībai izpildās, ka \(t^2-t+1>t\), jo tas ir ekvivalenti ar \((t-1)^2>0\), un \(t^2-2t+1>t\), jo tas ir ekvivalenti ar \(t(t-3)+1>0\). Līdz ar to

\[ \min(x^2+y, y^2+z, z^2+x)=\min(t, t^2-t+1, 1-2t+t^2)=t \]

Taču, tā kā mēs skaitli \(t\) varam izvēlēties pēc patikas lielu, tad neeksistē tāda konstante \(C\), ka \(t\leq C\), kas arī bija jāpierāda.