Doti pozitīvi reāli skaitļi \(x, y, z\) ar īpašību, ka jebkuru divu šo skaitļu starpība ir mazāka nekā \(2\). Pierādīt, ka
\[ \sqrt{xy+1}+\sqrt{yz+1}+\sqrt{zx+1}>x+y+z. \]
Ievērosim, ka, ja mēs pierādītu, ka \(\sqrt{xy+1}>\frac{x+y}{2}\), \(\sqrt{yz+1}>\frac{y+z}{2}\) un \(\sqrt{zx+1}>\frac{z+x}{2}\), tad, saskaitot šīs \(3\) nevienādības kopā, mēs iegūtu, ka
\[ \sqrt{xy+1}+\sqrt{yz+1}+\sqrt{zx+1}> \frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z, \]
kas ir mūsu pierādāmā nevienādība. Pierādīsim, ka \(\sqrt{xy+1}>\frac{x+y}{2}\) (pārējās divas nevienādības pierāda analogi). Veicot ekvivalentus pārveidojumus, varam iegūt, ka\[ \sqrt{xy+1}>\frac{x+y}{2} \]
\[ xy+1>\frac{(x+y)^2}{4} \]
\[ 4xy+4>(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \]
\[ 4>x^2-2xy+y^2=(x-y)^2. \]
Pēdējā nevienādība ir patiesa, jo pēc uzdevuma nosacījumiem \(2>|x-y|\), kas nozīmē, ka \(4>(x-y)^2\). Analoģiski varam pierādīt, ka \(\sqrt{yz+1}>\frac{y+z}{2}\) un \(\sqrt{zx+1}>\frac{z+x}{2}\), kas atrisina uzdevumu.