Atrisinājums.

Apzīmēsim \(\angle ABC=\beta\) (skat. 2. att.). Tad \(\angle AOC=2\beta\) kā centra leņķis trijstūrim \(ABC\) apvilktajā riņķa līnijā. Tā kā \(AO=OC\), tad \(\angle OAC=\angle OCA=\frac{180^\circ-2\beta}{2}=90^\circ-\beta\). Aplūkojot trijstūra \(AQC\) iekšējo leņķu summu, iegūst \(\angle ACN=\beta\). Aplūkojot trijstūra \(APM\) iekšējo leņķu summu, \(\angle AMB=\beta\). Tad \(\triangle ABM\sim \triangle ACB\), jo \(\angle AMB=\angle ABC=\beta\) un \(\angle BAC\)- kopīgs leņķis. No tā izriet, ka \(\frac{BM}{BC}=\frac{AB}{AC}\). Tāpat \(\triangle ACN\sim \triangle ABC\), jo \(\angle BAC\)- kopīgs leņķis un \(\angle ACN=\angle ABC=\beta\). No tā izriet, ka \(\frac{CN}{BC}=\frac{AC}{AB}\). Tā kā

\[\left.\begin{array}{ccc} \dfrac{BM}{BC} & = & \dfrac{AB}{AC} \\ \dfrac{CN}{BC} & = & \dfrac{AC}{AB} \\ \end{array} \right\} \Rightarrow BM\cdot CN=BC^2\cdot \frac{AB}{AC}\cdot \frac{AC}{AB}=BC^2.\]