Ar \(d(a)\) apzīmēsim naturāla skaitļa \(a\) dalītāju skaitu no \(1\) līdz \(a\) ieskaitot. Naturālu skaitli \(n>1\) sauksim par stilīgu, ja tam izpildās šādas divas īpašības:
Pierādi, ka skaitlis ir stilīgs tad un tikai tad, ja tas izsakāms formā \(p^{2m}\), kur \(m\) ir naturāls skaitlis un \(p\) ir pirmskaitlis!
Vispirms pierādīsim, ka \(d(n)\) ir nepāra tikai naturālu skaitļu kvadrātiem. Aplūkosim naturālu skaitli \(n\). Ievērosim, ka, ja skaitlis \(l\) ir skaitļa \(n\) dalītājs, tad skaitlis \(\frac{n}{l}\) arī ir dalītājs. Tas nozīmē, ka visus skaitļa \(n\) dalītājus var sadalīt pāros \(\left(l,\frac{n}{l}\right)\), līdz ar to skaitļa \(n\) dalītāju skaits (tas ir, skaitlis \(d(n)\)) ir pāra skaitlis, izņemot gadījumu \(n=k^2\), jo tādā gadījumā \(k\) un \(\frac{k^2}{k}\) sakrīt. Secinām, ka \(d(n)\) ir pāra skaitlis visiem skaitļiem, izņemot, ja \(n\) ir naturāla skaitļa kvadrāts (jeb pāra pakāpe), kas arī bija jāpierāda.
Pierādīsim, ka tādu skaitļu pāra pakāpes, kuru pirmreizinātāju vidū ir vairāk nekā viens pirmskaitlis, neder. Pieņemsim, ka dota tāda naturāla skaitļa, kas satur pirmreizinātājus \(p_1<p_2\), pāra pakāpe. Tad šīs pakāpes dalītāju vidū ir skaitļi \(p_1^2<p_1p_2<p_2^2\). Tā kā tie ir pirmskaitļi, tad \(d(p_2)=3\), jo \(p_2^2\) dalās tikai ar \(1, p_2, p_2^2\), bet \(d(p_1p_2)=4\), jo \(p_1p_2\) dalās ar \(1, p_1, p_2\) un \(p_1p_2\). Iegūta pretruna, jo \(p_1p_2<p_2^2\), bet \(d(p_1p_2)>d(p_2^2)\).
Visbeidzot pamatosim, ka skaitļiem, kas ir viena pirmskaitļa pāra pakāpes, izpildās prasītais. Tad varam izteikt \(n=p^{2m}\), kur \(m\in\mathbb{N}\). Tas nozīmē, ka skaitļa \(n\) dalītāju vidū ir \(1,p,p^2,p^3,\ldots,p^{2m}\). Tā kā \(p\) - pirmskaitlis, tad skaidrs, ka katra nākamā pakāpe ir lielāka par iepriekšējo, un tās dalītāju skaits palielinās par \(1\), tāpēc uzdevuma nosacījumi izpildīsies.