Atrast visus tādus naturālos skaitļus \(n\), ka (A) \(n! - 8\); (B) \(n! - 1\) ir naturāla skaitļa kvadrāts!
Piezīme: Ar \(n!\) apzīmē visu to naturālo skaitļu reizinājumu, kuri nepārsniedz \(n\). Piemēram, \(5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\).
1.atrisinājums: (A) Pieņemsim, ka \(n \geq 6\). Tādā gadījumā \(n! - 8 = x^2\). Vienādojuma kreisā puse dalās ar 8, jo \(n!\) dalās ar 8 un saskaitāmais 8 dalās ar 8. Vienādojuma labā puse ir naturāla skaitļa kvadrāts, tātad satur visus dažādos skaitļa \(x\) pirmreizinātājus pāra pakāpē. Tas nozīmē, ka vienādojuma abām pusēm jādalās ar 16, jo tas ir mazākais skaitlis, kas dalās ar 8 un ir skaitlis 2 pāra pakāpē. Tā kā \(n!\) dalās ar 16, ja \(n \geq 6\) (jo sareizinot naturālos skaitļus no 1 līdz vismaz 6, pirmreizinātājs 2 ieiet reizinājumā 4 reizes – no skaitļiem 2, 4 un 6), tad iegūta pretruna, jo 8 nedalās ar 16, tātad vienādojuma kreisā puse nedalās ar 16.
Atliek pārbaudīt vērtības \(1 \leq n \leq 5\). Vērtības \(n \leq 3\) neder, jo tad \(n! < 8\) un vienādojuma kreisā puse ir negatīva, bet naturāla skaitļa kvadrāts nevar būt negatīvs. Ja \(n = 4\), tad \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 - 8 = 16\) ir naturāla skaitļa kvadrāts, bet \(n = 5\) neder, jo \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 - 8 = 112\) nav naturāla skaitļa kvadrāts. Tātad der tikai \(n = 4\).
2.atrisinājums: (A) Sākot ar \(n \geq 5\), visi \(n!\) beidzas ar ciparu 0. Tādā gadījumā, \(n! - 8\) visiem \(n \geq 5\) beigsies ar ciparu 2. Aplūkosim, ar kādiem cipariem var beigties naturāla skaitļa kvadrāts.
| \(x\) pēdējais cipars | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2\) pēdējais cipars | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 |
Redzams, ka naturāla skaitļa kvadrāts nekad nevar beigties ar 2, tādēļ prasītais neizpildās neviena \(n \geq 5\). Tā kā pie \(n \leq 3\) vienādojuma kreisā puse ir negatīva, tad atliek vēl pārbaudīt tikai variantu \(n = 4\), kurš šajā gadījumā der un ir vienīgā atbilde.
(B) Pieņemsim, ka \(n \geq 4\). Tādā gadījumā vienādojuma kreisā puse \(n! - 1\) vienmēr dod atlikumu 3, dalot ar 4, jo \(n!\), ja \(n \geq 4\), dalās ar 4 (jo skaitlis 4 ir kā reizinātājs). Aplūkosim, kādus atlikumus, dalot ar 4, var dot \(x^2\).
| Atlikums, \(x\) dalot ar 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Atlikums, \(x^2\) dalot ar 4 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Naturāla skaitļa kvadrāts nevar dot atlikumu 3, dalot ar 4, nevienā gadījumā. Tātad iegūta pretruna un atliek pārbaudīt vērtības \(1 \leq n \leq 3\). Ja \(n = 1\), tad \(n! - 1 = 0\), bet 0 nav naturāla skaitļa kvadrāts. Ja \(n = 2\), tad \(n! - 1 = 1\), kas ir naturāla skaitļa kvadrāts un, ja \(n = 3\), tad \(n! - 1 = 5\), kas nav naturāla skaitļa kvadrāts.