LV.NOL.2026.8.1 lv
Dots izliekts četrstūris \(ABCD\), tā diagonāles krustojas punktā \(O\), zināms, ka \(AB = DC\) un \(AC = DB\). Pierādīt, ka \(AO = DO\)!
Piezīme. Par izliektu sauc daudzstūri, kuram visi leņķi ir mazāki nekā \(180^\circ\).
Atrisinājums
Dots, ka \(AB = CD\) un \(AC = DB\), bet \(BC\)– kopīga mala trijstūros \(ABC\) un \(DCB\) (skat. 16.att.), tātad \(\triangle ABC = \triangle DCB(mmm)\). Tad \(\angle CAB = \angle BDC\) kā atbilstošie leņķi vienādos trijstūros. Tāpat \(\angle AOB = \angle DOC\) kā krustleņķi. Aplūkojot trijstūrus \(AOB\) un \(DOC\), iegūstam, ka \(\angle ABD = 180^\circ - \angle AOB - \angle BAO = 180^\circ - \angle DOC - \angle BDC = \angle DCA\) no trijstūra iekšējo leņķu summas. Tad \(\triangle AOB = \triangle DOC(lml)\) un \(AO = DO\) kā vienādu trijstūru atbilstošās malas.