Piecās kastēs kopā ir 21 bumbiņa, bumbiņu skaits jebkurās divās kastēs ir atšķirīgs. Zināms, ka, izvēloties jebkuras divas kastes un paņemot visas bumbiņas no tām, šīs bumbiņas var ievietot pārējās trīs kastēs tā, lai jaunais bumbiņu skaits katrā no šīm trim kastēm būtu vienāds. Pierādiet, ka vienā no kastēm ir tieši 7 bumbiņas. Norādiet piemēru, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem.
Vispirms pierādīsim, ka nevienā kastē nevar būt vairāk par 7 bumbiņām. Apzīmēsim visas kastes ar A, B, C, D, E. Pieņemsim pretējo - kādā no kastēm, piemēram, kastē A, ir vairāk nekā 7 bumbiņas, tātad, vismaz 8. Tagad, izvēloties jebkuras divas citas kastes, piemēram, kastes B un C, pēc dotā mēs varam ievietot visas bumbiņas no šīm divām kastēm pārējās, lai bumbiņu skaits tajās būtu vienāds. Tā kā kopā ir 21 bumbiņa, tad katrā no kastēm A, D, E jābūt tieši 7 bumbiņām. Bet tas nav iespējams, jo kastē A jau bija vismaz 8 bumbiņas.
Tagad pierādīsim, ka nevar būt tā, ka visās kastēs ir mazāk par 7 bumbiņām. Ja katra kaste satur mazāk par 7 bumbiņām, tad maksimālais iespējamais kopējais bumbiņu skaits ir \(6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 20\), jo visās kastēs ir dažāds bumbiņu skaits. Tā ir pretruna ar to, ka kopā ir 21 bumbiņa.
Piemērs \(7, 5, 4, 3, 2\) atbilst uzdevuma nosacījumiem.