Atrisinājums

Aplūkosim naturālo skaitli \(n\). Ievērosim, ka, ja skaitlis \(d\) ir skaitļa \(n\) dalītājs, tad \(\frac{n}{d}\) arī ir skaitļa dalītājs. Tas nozīmē, ka visus \(n\) dalītājus var sadalīt pāros \(\left(d; \frac{n}{d}\right)\), līdz ar to skaitļa \(n\) dalītāju skaits (tas ir skaitlis \(d(n)\)) ir pāra skaitlis, izņemot gadījumu \(n = k^2\), jo tādā gadījumā \(k\) un \(\frac{k^2}{k}\) sakrīt. Secinām, ka \(d(n)\) ir pāra skaitlis, izņemot to gadījumu, kad \(n\) ir naturāla skaitļa kvadrāts (tad \(d(n)\) ir nepāra skaitlis).

Ja \(a\) nav naturāla skaitļa kvadrāts, \(d(a)\) ir pāra skaitlis. Ievērosim, ka \(a - b^2 = 2 - d(a)\). Labā puse ir pāra skaitlis, jo tā ir divu pāra skaitļu starpība. Tas nozīmē, ka kreisā puse arī ir pāra skaitlis, kas nozīmē, ka \(a\) un \(b^2\) ir vienāda paritāte. Ievērosim, ka skaitlim \(b^2\) un \(b\) ir vienāda paritāte, līdz ar to skaitļiem \(a\) un \(b\) ir vienāda paritāte, kas nozīmē, ka \(a - b\) ir pāra skaitlis.

Ja \(a\) ir naturāla skaitļa kvadrāts, tad \(a = k^2\), kur \(k\) ir naturāls skaitlis. Ja \(k = 1\), tad \(1 + 1 = b^2 + 2\), tad \(b = 0\), kas ir pretrunā ar to, ka tas ir naturāls skaitlis. Līdz ar to pieņemsim, ka \(k > 1\). Ievērosim, ka \(b^2 = k^2 + d(k^2) - 2\). Tā kā \(d(k^2) > 2\), jo vienīgais skaitlis, kam ir 2 dalītāji ir pirmskaitlis un naturāla skaitļa kvadrāts nav pirmskaitlis, tad \(b^2 > k^2\). Ievērosim, ka \(d(k^2) \leq 2k - 1\), jo skaitlim \(k^2\) dalītāji (pieņemot ekstremālo variantu, ka der itin visi naturālie skaitļi līdz \(k\)), var būt \(1; 2; \ldots; k\) un attiecīgi \(\frac{k^2}{1}; \frac{k^2}{2}; \ldots; \frac{k^2}{k}\), bet \(k\) un \(\frac{k^2}{k}\) sakrīt. Secinām, ka \(b^2 = k^2 + d(k^2) - 2 \leq k^2 + 2k - 1 - 2 < k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2\). Esam ieguvuši, ka \((k + 1)^2 > b^2 > k^2\) – pretruna, jo naturāla skaitļa kvadrāts nevar būt starp diviem veselu skaitļu kvadrātiem.