Atrast visus naturālos skaitļus \(n\), kuriem vienlaicīgi izpildās šādas divas īpašības: 1) skaitļi \(n - 1\) un \(n + 1\) abi ir pirmskaitļi; 2) skaitļa \(n\) visu pozitīvo dalītāju (ieskaitot 1 un \(n\)) summa ir vienāda ar \(2n\).
Ievērojam, ka \(n\) ir pāra skaitlis, jo pretējā gadījumā \(n - 1\) un \(n + 1\) abi ir pāra skaitļi un neeksistē divi pāra pirmskaitļi. Pierādīsim, ka \(n\) dalās ar 3. Pieņemsim pretējo, ka \(n\) nedalās ar 3. Tad ir iespējami divi gadījumi.
1) \(n\) dod atlikumu 1, dalot ar 3. Tad \(n - 1\) dalās ar 3, kas nozīmē, ka \(n - 1 = 3\) un \(n = 4\) (jo 3 ir vienīgais pirmskaitlis, kas dalās ar 3). Taču skaitļa 4 dalītāju summa ir \(1 + 2 + 4 = 7 \neq 8\).
2) \(n\) dod atlikumu 2, dalot ar 3. Tad \(n + 1\) dalās ar 3, kas nozīmē, ka \(n + 1 = 3\) un \(n = 2\). Tādā gadījumā \(n - 1 = 1\), kas nav pirmskaitlis. Secinām, ka pieņēmums ir aplams, un līdz ar to \(n\) dalās ar 3.
Pieņemsim, ka \(n \neq 6\), tad \(1\), \(n\), \(\frac{n}{2}\), \(\frac{n}{3}\) un \(\frac{n}{6}\) ir atšķirīgi skaitļa \(n\) dalītāji. Tā kā tie pat var nebūt vienīgie skaitļa dalītāji, tad visu pozitīvo dalītāju summa ir vismaz \(1 + n + \frac{n}{2} + \frac{n}{3} + \frac{n}{6} = 2n + 1 > 2n\) – pretruna. Līdz ar to vienīgais skaitlis, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem, ir \(n = 6\).