LV.NOL.2024.10.5 lv
Taisnstūrī ar izmēriem \(8 \times 10\) rūtiṇas sākotnēji katrā rūtināa atradās tieši viena varde.
Vienā brīdī katra varde pārlēca uz kādu no blakus rūtinām (katra varde pārlēca tieši vienu reizi).
Vai var gadīties, ka tagad visas vardes atrodas tieši: (A) \(24\) rūtiņās; (B) \(23\) rūtiṇās?
Piezīme. Divas rūtiṇas sauc par blakus rūtiṇām, ja tām ir kopīga mala.
Atrisinājums
(A) Jā, var, piemēram, skat. 6. att., kur visas vardes ir nonākušas pelēkajās rūtiṇās (katra varde no baltās rūtiṇas varēja pārlēkt uz kādu pelēko rūtiṇu, un vardes, kas sākumā atradās kādā no pelēkajām rūtinām, pārlēca uz blakus esošo pelēko rūtinu).
(B) Nē, nevar. Pierādīsim, ka vardes atrodas vismaz 24 rūtiṇās.
Aplūkosim tās 24 vardes, kas sākumā atradās 6. att. iekrāsotajās rūtiṇās, un ievērosim, ka nekādas divas no tām pēc pārlēkšanas nevar atrasties vienā un tajā pašā rūtinā. Lai divas vardes no pelēkajām rūtiṇām varētu nonākt vienā un tajā pašā rūtiṇā, būtu jābūt tādai rūtịnai, kurai divas blakus rūtị̣as ir pelēkā krāsā, bet tādas rūtinas nav. Tātad pēc pārlēkšanas vardes atradīsies vismaz 24 rūtiṇās.