Atrisinājums

Apzīmēsim \(p=x+2y+1\) un ievērosim, ka \(p\geq x+3\) (jo \(y\geq 1\)). Ievērosim arī, ka \(x\geq 2\) (\(x\) jābūt pāra skaitlim, pretējā gadījumā \(x+2y+1\) būs pāra skaitlis, tātad nebūs pirmskaitlis).

Pārveidosim doto izteiksmi, izmantojot to, ka \(p=x+2y+1\):

\[ x^2+2xy-2y=(x^2+2xy+x)-(x+2y+1)+1=px-p+1. \]

Pieņemsim pretējo, ka tas ir kāda naturāla skaitļa kvadrāts un apzīmēsim to ar \(n^2\). Tādā gadījumā

\[ px-p=n^2-1 \]

\[ p(x-1)=(n-1)(n+1) \]

Tātad vai nu \(n-1\), vai \(n+1\) dalās ar \(p\). Aplūkosim šos gadījumus. 1. \(n-1\) dalās ar \(p\). Tādā gadījumā \(x-1\) dalās ar \(n+1\). Tātad \(n-1\geq p\) un \(x-1\geq n+1\) (šeit ir svarīgi, ka \(x\geq 2\)), jeb \(x-3\geq n-1\). Saliekot abas šīs nevienādības kopā iegūstam, ka \(x-3\geq n-1\geq p\), kas ir pretruna ar to, ka \(p\geq x+3\). 2. \(n+1\) dalās ar \(p\). Tādā gadījumā \(x-1\) dalās ar \(n-1\). Tātad \(n+1\geq p\) un \(x-1\geq n-1\), jeb \(x+1\geq n+1\). Saliekot abas šīs nevienādības kopā iegūstam, ka \(x+1\geq n+1\geq p\), kas ir pretruna ar to, ka \(p\geq x+3\).