Atrisinājums

Atbilde: mazākā iespējamā vērtība ir \(24\). Vispirms parādīsim, ka vērtība \(k=24\) ir iespējama. To var izdarīt, kā redzams 18. att.

Atliek pamatot, ka mazāka summa nav iespējama. Apzīmēsim uz katras malas uzrakstīto skaitļu summu ar \(k\) un aplūkosim visu šo malu summu summu. No vienas puses tās vērtība ir \(9k\), jo mums ir \(9\) malas un uz katras malas skaitļu summa ir \(k\). No otras puses, šādā veidā mēs katru no \(18\) skaitļiem esam ieskaitījuši vienu vai divas reizes: virsotnēs ierakstītos skaitļus katru divas reizes (jo tie pieder divām malām), bet malu viduspunktos ierakstītos skaitļus katru vienu reizi. Līdz ar to mēs varam uzrakstīt vienādojumu

\[ 9k=S+S_v \]

kur \(S=\frac{18\cdot 19}{2}=171\) ir visu \(18\) skaitļu summa, bet \(S_v\) ir virsotnēs ierakstīto skaitļu summa. Tā kā \(S_v\geq 1+2+\ldots+9=45\) (šādu mazāko summu mēs iegūstam, ja virsotnēs ir ierakstīti mazākie iespējamie skaitļi), tad iegūstam nevienādību

\[ 9k\geq 171+45 \]

no kurienes \(k\geq 24\).