Sākums

LV.AMO.2025.11.1   lv

Pierādīt, ka jebkuram naturālam skaitlim \(k\) var atrast tādus naturālus skaitļus \(a\) un \(b\), ka \(a!\) dalās ar \(b\), \(b!\) dalās ar \(a\) un \(a-b=k\).

Piezīme: naturāla skaitļa \(n\) faktoriāls \(n!\) ir visu naturālo skaitļu no \(1\) līdz \(n\) ieskaitot reizinājums: \(n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n\). Piemēram, \(4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24\).

Hide solution

Atrisinājums

Vispirms ievērosim, ka, tā kā \(a>b\) (jo \(a-b=k>0\)), tad nosacījums \(a!\) dalās ar \(b\) vienmēr izpildās. Tāpēc aplūkosim tikai otru nosacījumu. Parādīsim, kā katram naturālam \(k\) atrast šādus skaitļus \(a\) un \(b\), ka \(a-b=k\) un \(b!\) dalās ar \(a\).

  • Ja \(k=1\), tad var ņemt \(a=6\) un \(b=5\), redzams, ka \(5!=120\) dalās ar \(6\).
  • Ja \(k=2\), tad var ņemt \(a=6\) un \(b=4\), redzams, ka \(4!=24\) dalās ar \(6\).
  • Jebkuram citam \(k\geq 3\) ņemsim \(a=2k\) un \(b=k\), tad redzams, ka \(k!=(k-1)!\cdot k\) dalās ar \(2k\), jo skaitlis \((k-1)!\) dalās ar \(2\).