Atrisinājums

1. atrisinājums. Pierādīsim, ka jebkuriem naturāliem skaitļiem \(a\) un \(b\) ir spēkā

\[ LKD(a,b)\cdot MKD(a,b)=ab. \]

Aplūkosim divus patvaļīgus naturālus skaitļus \(a\) un \(b\), kuru lielākais kopīgais dalītājs ir \(d\). Tādā gadījumā mēs varam izteikt, ka \(a=dx\) un \(b=dy\) kaut kādiem \(x\) un \(y\), kuriem \(LKD(x,y)=1\). Skaitļu \(x\) un \(y\) mazākais kopīgais dalāmais tātad ir \(xy\), savukārt skaitļu \(a=dx\) un \(b=dy\) mazākais kopīgais dalāmais ir \(dxy\). No tā seko prasītais (šis ir labi zināms fakts). No tā seko, ka Elīnas nodzēsto skaitļu \(a\) un \(b\) reizinājums ir vienāds ar viņas uzrakstīto skaitļu \(LKD(a,b)\) un \(MKD(a,b)\) reizinājumu, kas nozīmē, ka visu uz tāfeles uzrakstīto skaitļu reizinājums nemainās. Aplūkosim tagad, kā mainās uzrakstīto skaitļu summa (lietosim tos pašus apzīmējumus \(a=dx\) un \(b=dy\)). Tā pieaug par

\[ dxy+d-dx-dy=d(x-1)(y-1)\geq 0, \]

pie tam vienādība izpildās tikai tad, ja \(x=1\) vai \(y=1\). No šejienes varam secināt, ka visu uz tāfeles uzrakstīto skaitļu summa nekad nesamazinās, un paliek tāda pati kā bija tikai tad, ja \(x=1\) vai \(y=1\), t.i., tajā gadījumā, ja viens no skaitļiem dalās ar otru. Šajā gadījumā (pieņemsim, ka \(x=1\), tad skaitļi ir \(a=d\) un \(b=dy\)) Elīna uzrakstīs uz tāfeles tos pašus skaitļus, ko nodzēsusi, jo \(LKD(d,dy)=d\), bet \(MKD(d,dy)=dy\). Tā kā skaitļu summa nevar bezgalīgi pieaugt, ja to reizinājums nemainās, tad noteikti pienāks tāds brīdis, kad summa paliks tāda pati, un šajā brīdī Elīna uzrakstīs uz tāfeles tos pašus skaitļus, ko nodzēsusi. **2. atrisinājums.** Vienkāršības labad pieņemsim, ka \(a\leq b\). Ievērosim, ka tādā gadījumā \(LKD(a,b)\leq a\), pie tam vienādība izpildās tikai tad, ja \(LKD(a,b)=a\) un \(MKD(a,b)=b\) t.i. tad, ja Elīna uzraksta tos pašus skaitļus, ko nodzēsusi. Pieņemsim pretējo, ka Elīna darbojas bezgalīgi ilgi un nekad neuzraksta tos pašus skaitļus, ko tikko nodzēsusi. Tādā gadījumā viņa katrā solī uzraksta skaitli \((LKD(a,b))\), kas ir mazāks, par abiem viņas nodzēstajiem skaitļiem. Aplūkosim vismazāko skaitli, kas šajā bezgalīgajā procesā parādās uz tāfeles. Pēc tā uzrakstīšanas, Elīna to vairs neizvēlas (jo uz tāfeles neparādās par to mazāks skaitlis), tāpēc viņa tālāk viņa darbojas tikai ar atlikušajiem \(2024\) skaitļiem. Pēc tam aplūkosim mazāko skaitli no atlikušajiem, kas šajā bezgalīgajā procesā parādās uz tāfeles. Pēc tā uzrakstīšanas (arī tad, ja tas tur jau bija no sākuma) Elīna to vairs neizvēlas (jo uz tāfeles neparādās par to mazāks skaitlis), tāpēc viņa tālāk darbojas tikai ar atlikušajiem \(2023\) skaitļiem. Atkārtojot šo spriedumu vēl \(2022\) reizes mēs nonāksim situācijā, kad ir jau \(2024\) skaitļi, ko Elīna vairs neizvēlas un tātad atlicis tikai viens, ko viņa drīkst nodzēst — pretruna.