Dots \(45\)-ciparu skaitlis, tā pieraksts sastāv no viena vieninieka, diviem divniekiem, trīs trijniekiem, \(\ldots\), deviņiem devītniekiem. Pierādīt, ka tas nevar būt vesela skaitļa kvadrāts!
Aplūkosim šāda skaitļa ciparu summu. Tā kā skaitļa sastāvā katrs no minētajiem \(9\) cipariem ir tikpat reižu, cik tas pats ir, ciparu summa skaitlim ir
\[ 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + \ldots + 9 \cdot 9 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 9^2 = 285. \]
Ievērosim, ka ciparu summa dalās ar \(3\), bet nedalās ar \(9\), jo ciparu summas ciparu summa ir \(15\). Taču neeksistē tāds vesela skaitļa kvadrāts, kas dalās ar \(3\), bet nedalās ar \(9\), jo tad tam jāsatur pirmreizinātājs \(3\) tikai vienu reizi. Kāpinot skaitli kvadrātā, jauni pirmreizinātāji nevar rasties, taču visi skaitlī jau esošie pirmreizinātāji pēc kāpināšanas kvadrātā būs pāra skaitā, jo skaitlis tiek reizināts pats ar sevi.