Atrisinājums

Lielākais septiņciparu palindroms ir \(8992998\). Lai septiņciparu skaitlis būtu palindroms, tam ir jābūt formā \(abcdcba\). Skaitlis dalās ar \(18\) tad un tikai tad, ja tas dalās ar \(2\) un \(9\). Savukārt ar \(2\) skaitlis dalās tad un tikai tad, ja tā pēdējais cipars ir pāra. Tā kā pirmais un pēdējais cipars sakrīt, tad \(a\) ir pāra cipars. Lai skaitlis būtu pēc iespējas lielāks, jāizvēlas lielākais iespējamais pāra cipars, kas ir \(a=8\). Tātad skaitlis ir formā \(8bcdcb8\). Lai tas būtu maksimāls, izvēlamies \(b=9\) un \(c=9\), iegūstot \(899d998\). Skaitlis dalās ar \(9\) tad un tikai tad, ja tā ciparu summa dalās ar \(9\). Šajā gadījumā \(8+9+9+d+9+9+8=52+d\). Jāpanāk, lai \(52+d\) dalītos ar \(9\). Tā kā \(52\) dod atlikumu \(7\), dalot ar \(9\), tad \(d\) jādod atlikums \(2\), dalot ar \(9\). Tas nozīmē, ka \(d=2\) un mēs iegūstam skaitli \(8992998\). Ievērojam, ka, izvēloties katru no cipariem, esam izvēlējušies lielāko iespējamo vērtību katram ciparam, līdz ar to esam atraduši lielāko skaitli, kam izpildās dotās īpašības. Pārbaudām: \(8+9+9+2+9+9+8=54\), un \(54\) dalās ar \(9\), turklāt pēdējais cipars ir pāra, tātad skaitlis dalās ar \(18\). Tātad lielākais septiņciparu palindroms, kas dalās ar \(18\), ir \(8992998\).