Atrisinājums

1. atrisinājums. Tā kā trijstūra leņķu summa ir \(180^\circ\), tad mums pietiek pierādīt, ka \(\alpha+\beta = 90^\circ\). Skaidrs, ka leņķi \(\alpha\) un \(\beta\) ir šauri, apzīmēsim \(\varphi = 90^\circ - \beta\) un ievērosim, ka arī \(\varphi\) ir šaurs. Tādā gadījumā mums jāpierāda, ka \(\alpha = \varphi\). Ievietojot dotajā vienādojumā \(\beta = 90^\circ - \varphi\) un izmantojot to, ka \(\sin (90^\circ - \varphi) = \cos \varphi\) un \(\cos (90^\circ - \varphi) = \sin \varphi\), iegūstam, ka

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \varphi = \cos^2 \alpha + \sin^2 \varphi. \]

Tālāk ievietojot \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha\) un \(\cos^2 \varphi = 1 - \sin^2 \varphi\), iegūstam, ka

\[ \sin^2 \alpha + 1 - \sin^2 \varphi = 1 - \sin^2 \alpha + \sin^2 \varphi, \]

ko vienkāršojot iegūstam, ka \(\sin^2 \alpha = \sin^2 \varphi\). Tā kā \(\alpha\) un \(\varphi\) ir šauri leņķi, tad to sinusi ir pozitīvi, tātad \(\sin \alpha = \sin \varphi\). Tā kā sinuss ir augoša funkcija intervālā \([0,90^\circ]\), tad varam secināt, ka \(\alpha = \varphi\), kas arī bija vajadzīgs. **2. atrisinājums.** Pamanīsim, ka \(\alpha\) un \(\beta\) ir šauri leņķi (citādi trijstūra leņķu summa pārsniegtu \(180^\circ\), jo \(\gamma \geq \beta\)). Pārveidosim doto izteiksmi:

\[ (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta - \sin^2 \beta) = 0 \]

\[ \cos 2\alpha + \cos 2\beta = 0 \]

\[ 2 \cos \frac{2\alpha - 2\beta}{2} \cos \frac{2\alpha + 2\beta}{2} = 0 \]

\[ \cos(\alpha - \beta)\cos(\alpha + \beta) = 0 \]

Ievērosim, ka, tā kā \(\alpha\) un \(\beta\) ir šauri, tad \(|\alpha - \beta| < 90^\circ\), tātad \(\cos(\alpha - \beta) \neq 0\). Tas nozīmē, ka \(\cos(\alpha + \beta) = 0\), tātad \(\alpha + \beta = 90^\circ + 180^\circ n\), kur \(n \in \mathbb{Z}\). Tā kā \(\alpha\) un \(\beta\) ir šauri, mums der tikai \(\alpha + \beta = 90^\circ\), taču no trijstūra leņķu summas izriet, ka \(90^\circ = \alpha + \beta = 180^\circ - \gamma\), tātad \(\gamma = 90^\circ\), kas arī bija jāpierāda.