Doti pozitīvi reāli skaitļi \(a, b\). Zināms, ka \(2026\) skaitļu \(\frac{a+1}{b+1}, \frac{a+2}{b+2}, \ldots, \frac{a+2026}{b+2026}\) summa ir vienāda ar \(2026\). Ar ko ir vienāds šo \(2026\) skaitļu reizinājums?
Doto \(2026\) skaitļu reizinājums ir vienāds ar \(1\).
Ievērosim, ka
\[ \frac{a+1}{b+1}+\frac{a+2}{b+2}+\ldots+\frac{a+2026}{b+2026}=2026 \]
\[ \left(\frac{a+1}{b+1}-1\right)+\left(\frac{a+2}{b+2}-1\right)+\ldots+\left(\frac{a+2026}{b+2026}-1\right)=0 \]
\[ \frac{a-b}{b+1}+\frac{a-b}{b+2}+\ldots+\frac{a-b}{b+2026}=0 \]
\[ (a-b)\cdot\left(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{b+2}+\ldots+\frac{1}{b+2026}\right)=0. \]
Tā kā \(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{b+2}+\ldots+\frac{1}{b+2026}\neq 0\), jo \(b\) ir pozitīvs skaitlis, tad secinām, ka \(a-b=0\), kas nozīmē, ka \(a=b\). Tādā gadījumā\[ \frac{a+1}{b+1}=\frac{a+2}{b+2}=\ldots=\frac{a+2026}{b+2026}=1, \]
kas nozīmē, ka doto \(2026\) skaitļu reizinājums ir vienāds ar \(1\).