Uz \(6 \times 6\) šaha galdiņa katra lauciņa sākumā atrodas pa tornim. Katrā gājienā drīkst noņemt no galdiņa jebkuru vienu torni, kas apdraud nepāra skaitu citu torņu (torņi apdraud viens otru, ja tie atrodas vienā rindā vai vienā kolonnā un starp tiem nav citu torņu). Kāds ir lielākais torņu skaits, ko var noņemt?
Atbilde ir \(31\).
Vispirms pierādīsim, ka noteikti vismaz \(5\) torņi paliks nenoņemti. Acīmredzami, ka torņi, kas ir stūros, paliks nenoņemti, jo jebkurā brīdī stūros esošie torņi apdraud tieši \(2\) torņus. Brīdī, kad uz šaha galdiņa palikuši \(5\) torņi, aplūkosim torni, kas nav viens no stūros esošajiem torņiem. Ja šis tornis atrodas pirmajā rindā, pēdējā rindā, pirmajā kolonnā vai pēdējā kolonnā, tad tas apdraud tieši \(2\) citus torņus, pretējā gadījumā šis tornis apdraud \(0\) citus torņus. Secinām, ka šo torni mēs noņemt nevarēsim, tāpēc vismaz \(5\) torņi paliks nenoņemti. Līdz ar to noņemt mēs varēsim ne vairāk kā \(36-5=31\) torni.
Konstrukcija, kā noņemt \(31\) torni, ir šāda. Zemāk redzamajā tabulā katrā rūtiņā ierakstītais skaitlis attēlo gājiena numuru, kurā no attiecīgās rūtiņas tika noņemts tornis.
\[ \begin{array}{c|cccccc} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 1 & X & 1 & 26 & 24 & 21 & X\\ 2 & 3 & 2 & 23 & 25 & 22 & 20\\ 3 & 4 & 27 & 30 & 29 & 18 & 19\\ 4 & 5 & 8 & 31 & 28 & 17 & X\\ 5 & 6 & 7 & 16 & 14 & 13 & 15\\ 6 & X & 9 & 10 & 11 & 12 & X \end{array} \]
Uzdevumam pastāv arī alternatīvās konstrukcijas, kas ļauj panākt \(31\) noņemtu torni.