Atrisinājums

Apzīmējam \(\sphericalangle B C D=2 \alpha\) un \(\sphericalangle A B C=2 \beta\). No tā, ka četrstūrim \(A B C D\) var apvilkt riṇḳa līniju, iegūstam, ka \(\sphericalangle B A D=180^{\circ}-2 \alpha\) un \(\sphericalangle A D C=180^{\circ}-2 \beta\). Uz malas \(A D\) atliek punktu \(E\) tā, ka \(A B=A E=a\) un \(D E=D C=b\). Tad \(\triangle A B E\) un \(\triangle C D E\) ir vienādsānu trijstūri, kuriem \(\sphericalangle A E B=\sphericalangle A B E=\alpha\) un \(\sphericalangle C E D=\sphericalangle E C D=\beta\). Ap trijstūri \(B C E\) apvelkam riṇk̦a līniju. lespējami divi gadījumi. 2. Četrstūra mala \(A D\) ir šīs riṇka līnijas pieskare un punkts \(E\) ir vienīgais punkts uz \(A D\), kas kopīgs šim nogrieznim un riṇka līnijai (skat. 11. att.). Tad \(\sphericalangle B C E=\sphericalangle A E B=\alpha\) kā ievilktais leṇkis un hordas-pieskares leṇkis, kas abi balstās uz vienu un to pašu loku \(B E\). Līdz ar to \(\sphericalangle E C D=\sphericalangle B C D-\sphericalangle B C E=2 \alpha-\alpha=\alpha\). Tātad \(C E\) ir leṇka \(B C D\) bisektrise. Līdzīgi pierāda, ka \(B E\) ir leṇḳa \(A B C\) bisektrise. 3. Riṇḳa līnija krusto \(A D\) gan punktā \(E\), gan vēl otrā punktā \(H\) (skat. 12. att.). Tad \(\sphericalangle B E H=180^{\circ}-\alpha\). No tā, ka ap \(B C H E\) var apvilkt riņķa līniju, izriet, ka \(\sphericalangle B E H+\sphericalangle B C H=180^{\circ}\) jeb \(\sphericalangle B C H=\alpha\). No tā seko, ka \(C H\) ir leņḳa \(B C D\) bisektrise. Līdzīgi pierāda, ka \(B H\) ir leņka \(A B C\) bisektrise. Tātad bisektrises krustojas punktā \(H\), kas atrodas uz malas \(A D\).