Atrisinājums

Tā kā \(AB=BC=CD\), tad trijstūri \(BCD\) un \(ABC\) ir vienādsānu un to pamata pieleņķi ir vienādi: \(\sphericalangle BAC = \sphericalangle BCA = \alpha\) un \(\sphericalangle CBD = \sphericalangle CDB = \beta\). Apzīmējam \(\sphericalangle EAF = x\) un \(\sphericalangle EDF = y\) (skat. 2. att.).

Pēc dotā \(AF\) un \(DF\) ir leņķu bisektrises, tātad iegūstam:

• \(\sphericalangle EAD = \sphericalangle EAF + \sphericalangle FAD = x + (\alpha + x) = \alpha + 2x\).
• \(\sphericalangle EDA = \sphericalangle FDA - \sphericalangle FDE = (\beta - y) -y = \beta - 2y\).

Tā kā krustleņķi ir vienādi, tad \(\sphericalangle AED = \sphericalangle BEC = 180^{\circ} - \sphericalangle BCE - \sphericalangle EBC = 180^{\circ} - \alpha - \beta\). Aplūkojot trijstūra \(AED\) iekšējo leņķu summu, iegūstam:

\[\begin{aligned} 180^{\circ} & = 180^{\circ} - \alpha - \beta + (\alpha + 2x) + (\beta - 2y); \\ 180^{\circ} & = 180^{\circ} + 2x - 2y. \\ \end{aligned}\]

Līdz ar to esam ieguvuši, ka \(2x = 2y\) jeb \(x=y\), kas arī bija jāpierāda. *Piezīme.* Citiem punktu \(E\) un \(F\) izkārtojumiem risinājums ir analoģisks.