Doti tādi reāli skaitli \(x\) un \(y\), ka \(x+y=1\) un \(x^{2}+y^{2}=3\). Pierādīt, ka izteiksmes \(x^{11}+y^{11}\) vērtība ir naturāls skaitlis, un atrast šo vērtību!
Lai iegūtu prasīto vērtību, izmantosim šādu vienādību:
\[x^{n}+y^{n}=(x+y)\left(x^{n-1}+y^{n-1}\right)-x y\left(x^{n-2}+y^{n-2}\right)\]
Vispirms aprēķinām \(xy\) vērtību:\[2xy=(x+y)^{2}-x^{2}-y^{2}=1^{2}-3=-2 \quad \Rightarrow \quad xy=-1\]
Ja ar \(a_{n}\) apzīmējam \(x^{n}+y^{n}\) vērtību, tad šādi esam aprakstījuši rekurences sakarību:\[a_{1}=1 ; \quad a_{2}=3 ; \quad a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}\]
Izmantojot šo sakarību, jāatrod \(a_{11}\) jeb \(x^{11}+y^{11}\). Pakāpeniski rēķinot, iegūstam, ka\[ a_{3}=4 ; a_{4}=7 ; a_{5}=11 ; a_{6}=18 ; a_{7}=29 ; a_{8}=47 ; a_{9}=76 ; a_{10}=123 ; a_{11}=199 \]