Rindā kaut kādā secībā uzrakstīti visi naturālie skaitli no \(1\) līdz \(2023\). Vienā gājienā tiek sareizināti katri divi blakus esošie skaitļi un zem tiem tiek uzrakstīta šī reizinājuma ciparu summa; šādā veidā tiek iegūta jauna rinda, kurā ir par vienu skaitli mazāk nekā sākotnējā rindā. Pēc pirmā gājiena tiek iegūta jauna rinda, kurā ir \(2022\) skaitļi, pēc otrā gājiena tiek iegūta jauna rinda, kurā ir \(2021\) skaitlis utt., līdz pēc 2022. gājiena tiek iegūta pēdējā jaunā rinda, kurā ir tikai viens skaitlis. Atrast visas iespējamās šī pēdējā skaitļa vērtības!
Pēdējais skaitlis vienmēr būs \(9\). Pamatosim, ka uz tāfeles beigās nevar būt uzrakstīts kāds cits skaitlis. Ievērosim, ka, ja skaitlis dalās ar \(9\), tad arī tā ciparu summa dalās ar \(9\). Tā kā pirmajā rindā ir skaitļi, kas dalās ar \(9\), tad, šos skaitļus sareizinot ar kādu citu skaitli un iegūstot reizinājuma ciparu summu, iegūtais skaitlis dalīsies ar \(9\). Tātad arī otrajā rindā būs skaitļi, kas dalīsies ar \(9\). Līdzīgi spriežot, iegūstam, ka arī pēdējā rindā esošajam skaitlim ir jādalās ar \(9\).
Pamatosim vēl vairāk - ka priekšpēdējā rindā abi skaitļi dalās ar 9. Ja mēs katrai rindai atmetam pēdējo locekli, tad priekšpēdējā rinda kl⿱̣ūst par pēdējo. Tā kā sākotnējās rindas kreisajā daļā (bez labā malējā locekļa) noteikti kāds skaitlis dalās ar 9 , tad, spriežot kā iepriekš, arī pēdējais loceklis dalās ar 9. Tātad priekšpēdējās rindas kreisais loceklis dalās ar 9. Līdzīgi, atmetot pirmo locekli, secinām, ka arī priekšpēdējās rindas labais loceklis dalās ar 9 .
Aplūkosim, cik lieli var būt skaitļi katrā rindā. Pirmajā rindā lielākais skaitlis ir \(2023\), tātad divu šīs rindas skaitļu reizinājums nepārsniegs \(2023^{2}=4092529\), kas ir septiṇciparu skaitlis. Līdz ar to neviens no iegūtajiem skaitļiem otrajā rindā nebūs lielāks kā \(9 \cdot 7=63\). Līdzīgi varam aplūkot otrās rindas lielāko iespējamo skaitļu reizinājuma vērtību \(63 \cdot 63=3969\) un secināt, ka trešajā rindā neviens skaitlis nebūs lielāks kā \(3+9 \cdot 3=30\). Līdzīgi secinām, ka trešās rindas divu skaitļu reizinājums nepārsniedz \(30 \cdot 30=900\), tātad ceturtās rindas skaitļi nepārsniedz \(8+9+9=26\). Tā kā \(26 \cdot 26=676<899\), tad katrā nākamajā rindā lielākais skaitlis nepārsniegs \(26\).
Kā secinājām iepriekš, priekšpēdējās rindas abiem skaitļiem jādalās ar \(9\). Tā kā šie abi skaitļi nepārsniedz \(26\), tad vienīgās iespējamās to vērtības ir \(9\) vai \(18\). Aplūkosim visus iespējamos gadījumus priekšpēdējās rindas skaitļiem:
Tātad varam secināt, ka pēdējais uzrakstītais skaitlis var būt tikai \(9\).