Aplūkojam virkni \(1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; \ldots\), kurā katrs naturālais skaitlis \(k\) tiek atkārtots \(k\) reizes. Pierādīt, ka šīs virknes \(n\)-to locekli var aprēķināt pēc formulas \(\left[\sqrt{2n}+\frac{1}{2}\right]\).
Ar \([x]\) apzīmējam skaitļa veselo daļu, tas ir, lielāko veselo skaitli, kas nepārsniedz \(x\). Piemēram, \([3,1]=3,[17]=17\), \([6,99]=6\).
Katrs naturāls skaitlis \(k\) dotajā virknē atkārtojas \(k\) reizes, noskaidrosim, ar kādiem indeksiem (kurās pozīcijās) tas tajā parādās.
Pirms pirmā skaitļa \(k\) ir viens vieninieks, divi divnieki, trīs trijnieki, ..., \((k-1)\) skaitlis \((k-1)\), tātad kopā
\[1+2+\ldots+(k-1)=\frac{k^{2}-k}{2}\]
skaitļi. Tātad skaitlim \(k\) indeksi šajā virknē būs\[\frac{k^{2}-k}{2}+1 ; \frac{k^{2}-k}{2}+2 ; \ldots ; \frac{k^{2}-k}{2}+k\]
jeb, citiem vārdiem sakot, jebkurš skaitlis \(k\) šajā virknē parādās ar indeksu \(\frac{k^{2}-k}{2}+i\), kur \(1 \leq i \leq k\). Lai pierādītu formulu, jāpierāda, ka visiem naturāliem \(k\) un visiem naturāliem \(1 \leq i \leq k\) izpildās \(\left[\sqrt{2\left(\frac{k^{2}-k}{2}+i\right)}+\frac{1}{2}\right]=k \quad\) jeb \(\quad\left[\sqrt{k^{2}-k+2 i}+\frac{1}{2}\right]=k\) Vienādība \([x]=y\), kur \(y\) ir naturāls skaitlis izpildās tad un tikai tad, ja \(y \leq x < y+1\), tāpēc vienādība pārvēršas par divkāršo nevienādību\[k \leq \sqrt{k^{2}-k+2 i}+\frac{1}{2} < k+1\]
Atņemot \(\frac{1}{2}\) un kāpinot kvadrātā, iegūstam\[\begin{gathered} \left(k-\frac{1}{2}\right)^{2} \leq k^{2}-k+2i < \left(k+\frac{1}{2}\right)^{2} \\ \frac{1}{4} \leq 2i < 2k+\frac{1}{4} \end{gathered}\]
Redzams, ka pēdējā nevienādība ir patiesa visiem \(1 \leq i \leq k\). Tā kā visi pārveidojumi bija ekvivalenti (kvadrātā tika kāpinātas pozitīvas izteiksmes), tad sākotnējā izteiksme arī ir spēkā.