Dota funkcija \(f(x)=mx^{2}+(m-1)x+\frac{2020}{m-2019}\). Ar kādām parametra \(m\) vērtībām funkcija ir augoša intervālā \((1; 2)\) ?
Ievērojam, ka \(m \neq 2019\) . Lai funkcija būtu augoša, jāizpildās nevienādībai \(f(1) < f(2)\). Atrisinām šo nevienādību:
\[\begin{aligned} m+(m-1)+\frac{2020}{m-2019} & < 4m+(m-1) \cdot 2+\frac{2020}{m-2019} \\ 2m-1 & < 6m-2 \\ m & >\frac{1}{4} \end{aligned}\]
Vēl jāgarantē, ka parabolas virsotne neatrodas intervālā \((1 ; 2)\). Tā kā \(m\) vērtības ir pozitīvas, tad parabolas zari ir vērsti uz augšu un, lai dotajā intervālā funkcija būtu augoša, jāizpildās nevienādībai \(x_{v} \leq 1\) jeb \(\frac{1-m}{2m} \leq 1\). Reizinot nevienādību ar \(2m > 0\), iegūstam \(1-m \leq 2m\) jeb \(m \geq \frac{1}{3}\). Līdz ar to funkcija ir augoša intervālā \((1; 2)\), ja \(m \in\left[\frac{1}{3} ; 2019\right) \cup\) \(\cup(2019 ;+\infty)\) .