Atrisinājums

(A) Jā, var, piemēram, \(17^{2}=289\) un \(2+8+9=19\).

Piezīme. Tā kā \(19 \equiv 1(\bmod 9)\), tad jāmeklē skaitļi, kuru kvadrāts ir kongruents ar \(1(\bmod 9)\), tātad paši skaitļi ir \(\pm 1\) \((\bmod 9)\). Der arī skaitļi \(26, 28, 37, 44, 53, 62, 64, 73, 82, 89, 91\), utt.

(B) Nē, nevar. Naturālā skaitļa \(n\) kvadrāta ciparu summa \(2019\) dalās ar \(3\), tātad arī \(n^{2}\) dalās ar \(3\). Tā kā naturāla skaitļa kvadrāts dalās ar \(3\), tad arī pats skaitlis \(n\) dalās ar \(3\), bet tādā gadījumā \(n^{2}\) ir jādalās ar \(9\). Bet skaitļa \(n^{2}\) ciparu summa ir \(2019\), kas nedalās ar \(9\) nedalās, tātad \(2019\) nevar būt naturāla skaitļa kvadrāta ciparu summa.