Naturālu skaitļu virknes pirmie divi locekļi ir \(a_{1}\) un \(a_{2}\), turklāt \(a_{2}>a_{1}\). Katru nākamo virknes locekli, sākot ar trešo, aprēķina pēc formulas \(a_{i}=a_{i-1}+a_{i-2}\). Kādai lielākajai indeksa \(i\) vērtībai \(a_{i}\) var būt vienāds ar \(100a_{1}\)?
Pamatosim, ka lielākā iespējamā indeksa \(i\) vērtība ir \(11\).
Apzīmējam \(a_{2}=a_{1}+p\), kur \(p>0\). Vispārīgā veidā izteiksim dažus nākamos virknes locekļus:
\[\begin{gathered} a_{3}=a_{2}+a_{1}=2a_{1}+p \\ a_{4}=a_{3}+a_{2}=2a_{1}+p+a_{1}+p=3a_{1}+2p \\ a_{5}=5a_{1}+3p \\ a_{6}=8a_{1}+5p \\ a_{7}=13a_{1}+8p \\ a_{8}=21a_{1}+13p \\ a_{9}=34a_{1}+21p \\ a_{10}=55a_{1}+34p \\ a_{11}=89a_{1}+55p \\ a_{12}=144a_{1}+89p \end{gathered}\]
Ievērojam, ka \(a_{12}>100a_{1}\). Tātad \(i \leq 11\). Ja \(a_{1}=5\) un \(a_{2}=6\), tad\[a_{11}=89a_{1}+55p=89 \cdot 5+55=445+55=500=100a_{1}\]
*Piezīme.* Lai atrastu \(a_{1}\) un \(a_{2}\) vērtības, jāatrisina vienādojums \(89a_{1}+55p=100a_{1}\).