Atrisinājums

Novelkam trijstūrī \(ABC\) augstumu \(BH\) (skat. 2.att.). Tā kā \(BH\) ir arī mediāna, tad \(HC=\frac{1}{2} AC=3\), un pēc Pitagora teorēmas \(\triangle BHC\) aprēķinām \(BH=\sqrt{BC^{2}-HC^{2}}=4\). Tad \(S_{ABC}=\frac{1}{2} BH \cdot AC=12\). Tā kā trijstūriem \(BCD\) un \(DCA\) ir kopīgs augstums no virsotnes \(C\), tad \(S_{BDC}=\frac{2}{5} S_{ABC}=\frac{24}{5}\) un \(S_{ADC}=\frac{3}{5} S_{ABC}=\frac{36}{5}\). Iegūstam, ka \(h_{AC}=\frac{2S_{ADC}}{AC}=\frac{12}{5}\), kur \(h_{AC}\) ir no virsotnes \(D\) vilktais augstums. Aprēķinām \(S_{DEC}=\frac{1}{2} EC \cdot h_{AC}=\frac{24}{5}\). Tātad \(S_{DEC}=S_{BDC}\). Tas nozīmē, ka augstums no \(B\) pret \(CD\) ir vienāds ar augstumu no \(E\) pret \(CD\), no kā izriet, ka trijstūru \(BMC\) un \(EMC\) laukumi ir vienādi. Tātad \(S_{BMC}=\frac{1}{2} S_{BEC}=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{4}{2}=4\).