Naturālu skaitļu virkni \(\left(s_{i}\right)\) pēc parauga " \(2016\) " veido šādi: virknes pirmais loceklis \(s_{1}\) ir \(2\); virknes otrais loceklis \(s_{2}\) - mazākais naturālais skaitlis, kas lielāks nekā \(s_{1}\) un tā pierakstā ir cipars \(0\); virknes trešais loceklis \(s_{3}\) - mazākais naturālais skaitlis, kas lielāks nekā \(s_{2}\) un tā pierakstā ir cipars \(1\); virknes ceturtais loceklis \(s_{4}\) - mazākais naturālais skaitlis, kas lielāks nekā \(s_{3}\) un tā pierakstā ir cipars \(6\). Pēc tam meklētie cipari cikliski atkārtojas: \(2-0-1-6-2-0-\ldots\). Virknes pirmie locekļi ir \(2;\ 10;\ 11;\ 16;\ 20;\ 30;\ 31;\ 36;\ 42;\ 50\).
Kādi ir četri nākamie skaitļi, kas virknē seko aiz skaitļa \(2016\)?
Pavisam ir četru veidu gājieni: " \(2 \rightarrow 0\) " (skaitlis satur \(2\) un meklējam nākamo skaitli, kas satur \(0\)), " \(0 \rightarrow 1\) ", " \(1 \rightarrow 6\) " un " \(6 \rightarrow 2\) ". Turklāt šie gājieni cikliski atkārtojas tieši šādā secībā.
Lai noskaidrotu, kuri nākamie skaitļi seko virknē pēc skaitļa \(2016\), nepieciešams uzzināt, pēc kāda gājiena tika sasniegts skaitlis \(2016\).
Aplūkosim iespējamos gadījumus.
(A) Skaitli \(2016\) nevar iegūt pēc gājiena " \(6 \rightarrow 2\) ", jo iepriekšējais virknes loceklis būtu \(2006\), bet nākamais skaitlis, kas ir lielāks nekā \(2006\) un satur ciparu \(2\), ir \(2007\).
(B) Skaitli \(2016\) nevar iegūt pēc gājiena " \(2 \rightarrow 0\) ", jo iepriekšējam virknes loceklim tad būtu jābūt \(2015\), bet pirms tā izdarītajam gājienam jābūt " \(6 \rightarrow 2\) ", kas noved pie tās pašas pretrunas kā (A) gadījumā.
(C) Skaitli \(2016\) nevar iegūt pēc gājiena " \(0 \rightarrow 1\) ", jo iepriekšējam virknes loceklim būtu jābūt \(2015\), bet pirms tā izdarītajam gājienam jābūt " \(2 \rightarrow 0\) " un skaitlim \(2014\). Savukārt, pirms skaitļa \(2014\) izdarītajam gājienam jābūt " \(6 \rightarrow 2\) " un iegūstam līdzīgu pretrunu kā (A) gadījumā.
(D) Tātad skaitli \(2016\) iegūst pēc gājiena " \(1 \rightarrow 6\) ", un nākamie skaitļi virknē pēc gājieniem " \(6 \rightarrow 2\) ", " \(2 \rightarrow 0\) ", " \(0 \rightarrow 1\) " un " \(1 \rightarrow 6\) " ir skaitļi \(2017,\ 2018,\ 2019\) un \(2026\).