Atrisinājums

Visām riņķa līnijām ir kopīgs punkts \((0; 1)\). Pierādīsim to.

Kvadrātvienādojuma \(x^{2}+px+q=0\) saknes apzīmējam ar \(x_{1}\) un \(x_{2}\). Ar \(A\) un \(B\) apzīmējam parabolas krustpunktus ar \(x\) asi, ar \(C\) - parabolas krustpunktu ar \(y\) asi: \(A\left(x_{1}; 0\right), B\left(x_{2}; 0\right)\) un \(C(0 ; q)\). Apskatīsim divus iespējamos gadījumus.

1. Ja riņķa līnijai ar \(y\) asi ir tikai viens krustpunkts, tas ir, tā pieskaras \(y\) asij (skat. 15.att.), tad \(\triangle COA \sim \triangle BOC\) pēc pazīmes \(\ell \ell\), jo \(\sphericalangle COB\) - kopīgs un \(\sphericalangle OCA=\sphericalangle OBC=\frac{1}{2} \overline{AC}\). Tad

\[\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{OB} \Rightarrow \frac{x_{1}}{q}=\frac{q}{x_{2}} \Rightarrow x_{1}x_{2}=q^{2}\]

Pēc Vjeta teorēmas \(x_{1}x_{2}=q\), tāpēc \(q=q^{2}\). Tā kā \(C\) nesakrīt ar \(O\) (jo tad parabolai ar asīm būtu tikai divi krustpunkti), tad vienīgā iespēja, ka \(q=1\). Tātad šīs riņķa līnijas iet caur punktu \((0; 1)\).  2. Ja riņķa līnijai ar \(y\) asi ir divi krustpunkti, tad otru krustpunktu ar \(y\) asi apzīmējam ar \(D\). - Ja \(q \in(-\infty; 0) \cup(0; 1)\), tad \(\triangle AOD \sim \triangle COB\) pēc pazīmes \(\ell \ell\), jo \(\sphericalangle DOA=\sphericalangle BOC=90^{\circ}\) un \(\sphericalangle ADC=\sphericalangle ABC\) kā ievilktie leņķi, kas balstās uz viena un tā paša loka (skat. 16.att.). Tāpēc

\[\frac{AO}{OC}=\frac{OD}{OB} \Rightarrow \frac{x_{1}}{q}=\frac{OD}{x_{2}} \Rightarrow OD=\frac{x_{1}x_{2}}{q}=\frac{q}{q}=1\]

- Ja \(q>1\), tad \(\triangle AOD \sim \triangle COB\) pēc pazīmes \(\ell \ell\), jo \(\sphericalangle DOA=\sphericalangle BOC=90^{\circ}\) un \(\sphericalangle ADO=180^{\circ}-\sphericalangle CDA=\sphericalangle CBA\) pēc blakusleņķu īpašības un īpašības, ka ievilkta četrstūra pretējo leņķu summa ir \(180^{\circ}\) (skat. 17.att.). Tāpēc

\[\frac{AO}{OC}=\frac{OD}{OB} \Rightarrow \frac{x_{1}}{q}=\frac{OD}{x_{2}} \Rightarrow OD=\frac{x_{1}x_{2}}{q}=\frac{q}{q}=1\]

Tā kā punkts \(D\) nevar būt \((0;-1)\), jo tad iegūst ieliektu četrstūri, kuram nevar apvilkt riņķa līniju, tad šīs riņķa līnijas iet caur punktu \((0; 1)\) Līdz ar to visām šādām riņķa līnijām ir kopīgs punkts \((0; 1)\).