Atrisinājums

(A) Nē, trīs malu garumi nevar būt pirmskaitļi. Taisnleņķa trijstūrī malu garumus \(a,\ b\) un \(c\) saista Pitagora teorēma \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\). Tā kā visu malu garumiem jābūt pirmskaitļiem, kas lielāki nekā \(5\), tad visu malu garumi ir nepāra skaitļi, tātad arī \(a^{2}\) un \(b^{2}\) ir nepāra skaitļi, bet divu nepāra skaitļu summa ir pāra skaitlis - pretruna ar to, ka \(c^{2}\) ir nepāra skaitlis.

(B) Jā, divu malu garumi var būt pirmskaitļi. Piemēram, der malu garumi \(11,\ 60,\ 61\), jo divi no tiem ir pirmskaitļi un tiem izpildās Pitagora teorēmas nosacījums, tas ir, \(11^{2}+60^{2}=61^{2}\) jeb \(121+3600=3721\).

Piezīmes

1) Vērtības (B) gadījumā var atrast, ja zina sakarību, ka katram Pitagora skaitļu trijniekam \(a,\ b\) un \(c\) eksistē tādas naturālas \(n\) un \(m\) vērtības \((n>m)\), ka \(a=n^{2}-m^{2},\ b=2nm,\ c=n^{2}+m^{2}\). Skaitlis \(b\) nav pirmskaitlis, jo ir pāra skaitlis, kas ir lielāks nekā \(5\) (pēc dotā). Tātad vienlaikus pirmskaitļi ir \(n^{2}-m^{2}\) un \(n^{2}+m^{2}\). Lai skaitlis \(n^{2}-m^{2}=(n-m)(n+m)\) būtu pirmskaitlis, reizinātājam \(n-m\) jābūt vienādam ar \(1\) jeb \(n=m+1\) un pirmskaitļiem jābūt formā \(2m+1\) un \(2m^{2}+2m+1\). Pārbaudot nelielas \(m\) (\(m>2\) pēc dotā) vērtības, pie \(m=5\) atrod minēto skaitļu trijnieku \(11,\ 60,\ 61\). 2) To, ka (A) gadījumā viens no skaitļiem ir pāra, var secināt no skaitļa \(b\) izteiksmes.