Atrisinājums

Ir \(25\) skaitļi, kas nepārsniedz \(100\) un dalās ar \(4\). Parādīsim, ka visi šie skaitļi ir patīkami. Katrs no tiem pieder vienam no trim cikliem:

\(100 \rightarrow 100\);

\(20 \rightarrow 40 \rightarrow 80 \rightarrow 60 \rightarrow 20\);

\(4 \rightarrow 8 \rightarrow 16 \rightarrow 32 \rightarrow 64 \rightarrow 28 \rightarrow 56 \rightarrow 12 \rightarrow 24 \rightarrow 48 \rightarrow 96 \rightarrow 92 \rightarrow 84 \rightarrow 68 \rightarrow 36 \rightarrow 72 \rightarrow 44 \rightarrow 88 \rightarrow 76 \rightarrow 52 \rightarrow 4\)

Pierādīsim, ka tie skaitļi, kas nedalās ar \(4\), nevar būt patīkami. Šķirojam divus gadījums.

• Nepāra skaitļi nevar būt patīkami, jo visi nākamie virknes locekļi būs tikai pāra skaitļi un, tātad, sākotnējā \(n\) vērtība tajā atkārtoti parādīties nevar.
• Pāra skaitļi, kas nedalās ar \(4\), var pierakstīt formā \(n=4k+2\). Šajā gadījumā otrais virknes loceklis būs vai nu \(2 \cdot(4k+2)=4 \cdot(2k+1)\), vai \(2 \cdot(4k+2)-100=4 \cdot(2k-24)\). Abos gadījumos virknes otrais loceklis dalās ar \(4\) un tas ir uzrakstāms formā \(4m\). Visi nākamie virknes locekļi arī dalīsies ar \(4\), jo vai nu \(2 \cdot 4m=8m\), vai \(2 \cdot 4m-100=4 \cdot(2m-25)\). Līdz ar to virknē nevar atkārtoti parādīties skaitlis, kas nedalās ar \(4\), un skaitlis \(n=4k+2\) nav patīkams.

Tātad pavisam ir \(25\) patīkami skaitļi.