Atrisinājums

Regulāram četrpadsmitstūrim \(A_{1}A_{2} \ldots A_{14}\) apvilktās riņķa līijas centru apzīmēsim ar \(O\) (skat. A12.att.). Regulāra četrpadsmitstūra katras malas savilkto loku apzīmējam ar \(\alpha=360^{\circ}:14\).

Tad \(\sphericalangle A_{2}A_{1}A_{4}=\sphericalangle A_{4}A_{3}A_{6}=\sphericalangle A_{6}A_{1}A_{8}=\alpha\) un \(\sphericalangle A_{1}A_{2}A_{9}=\sphericalangle A_{3}A_{4}A_{11}=3 \alpha\) kā ievilktie leņķi un \(\sphericalangle A_{1}OA_{4}=3 \alpha\) kā centra leņķis.

Ievērojam, ka \(180^{\circ}=7 \alpha\). No \(\triangle A_{1}A_{2}B\) iegūstam, ka \(\sphericalangle A_{1}BA_{2}=7 \alpha-\alpha-3 \alpha=3 \alpha\), līdzīgi no \(\triangle A_{3}A_{4}C\) iegūst \(\sphericalangle A_{3}CA_{4}=3 \alpha\) un no \(\triangle A_{1}OD\) iegūst \(\sphericalangle A_{1}DO=3 \alpha\). Ievērojam, ka \(\sphericalangle A_{1}DO=\sphericalangle A_{6}DC=3 \alpha\) un \(\sphericalangle A_{3}CA_{4}=\sphericalangle DCA_{6}=3 \alpha\) kā krustleņķi. Tātad \(\triangle A_{1}A_{2}B, \triangle A_{3}A_{4}C\), \(\triangle OA_{1}D\) un \(\triangle A_{6}CD\) ir vienādsānu, jo leņķi pie pamata ir vienādi. Līdz ar to \(A_{1}B=A_{1}A_{2}=A_{3}A_{4}=A_{3}C\) un \(A_{1}O=A_{1}D=R\), un \(A_{6}D=A_{6}C\).

Tad \(A_{1}A_{2}+A_{1}A_{6}=A_{1}B+A_{1}D+DA_{6}=A_{3}C+R+CA_{6}=A_{3}A_{6}+R=A_{1}A_{4}+R\), kas arī bija jāpierāda.