Atrisinājums

Izmantosim matemātiskās indukcijas principu.

Indukcijas bāze. Ja \(n=1\), tad \(3+5-8=0\) dalās ar \(10\).

Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ja \(n=k\), tad \(3k^{5}+5k^{4}-8k\) dalās ar \(10\).

Induktīvā pāreja. Pierādīsim, ja \(n=k+1\), tad \(3(k+1)^{5}+5(k+1)^{4}-8(k+1)\) dalās ar \(10\).

Ekvivalenti pārveidojam izteiksmi \(3(k+1)^{5}+5(k+1)^{4}-8(k+1)\) :

\[\begin{aligned} & 3\left(k^{5}+5k^{4}+10k^{3}+10k^{2}+5k+1\right)+5\left(k^{4}+4k^{3}+6k^{2}+4k+1\right)-8(k+1)= \\ & =3k^{5}+20k^{4}+50k^{3}+60k^{2}+27k=3k^{5}+5k^{4}-8k+15k^{4}+50k^{3}+60k^{2}+35k= \\ & =3k^{5}+5k^{4}-8k+5k \cdot\left(3k^{3}+10k^{2}+12k+7\right) \end{aligned}\]

Saskaitāmais \(3k^{5}+5k^{4}-8k\) dalās ar \(10\) pēc induktīvā pieņēmuma. Saskaitāmais \(5k \cdot\left(3k^{3}+10k^{2}+12k+7\right)\) dalās ar \(5\), jo satur reizinātāju \(5\), un dalās ar \(2\), jo - ja \(k\) ir pāra skaitlis, tad reizinātājs \(k\) dalās ar \(2\); - ja \(k\) ir nepāra skaitlis, tad reizinātājs \(3k^{3}+10k^{2}+12k+7\) ir pāra skaitlis un tas dalās ar \(2\). Tā kā izteiksme \(3(k+1)^{5}+5(k+1)^{4}-8(k+1)\) dalās gan ar \(2\), gan ar \(5\), tad tā dalās arī ar \(10\) un līdz ar to esam pierādījuši, ka \(3(k+1)^{5}+5(k+1)^{4}-8(k+1)\) dalās ar \(10\). No matemātiskās indukcijas principa izriet, ka katram naturālam \(n\) izteiksme \(3n^{5}+5n^{4}-8n\) dalās ar \(10\), kas arī bija jāpierāda.