Atrast visas tādas vesela skaitļa \(n\) vērtības, kurām gan \(\frac{n^{3}+3}{n+3}\), gan \(\frac{n^{4}+4}{n+4}\) ir veseli skaitļi.
Apzīmējam \(k=n+3\). Tad \(n=k-3\) un pārveidojam pirmo izteiksmi:
\[\frac{n^{3}+3}{n+3}=\frac{(k-3)^{3}+3}{k}=\frac{k^{3}-9 k^{2}+27k-27+3}{k}=k^{2}-9k+27-\frac{24}{k}\]
Līdzīgi, apzīmējot \(m=n+4\), pārveidojam otro daļu: \(\frac{n^{4}+4}{n+4}=\frac{(m-4)^{4}+4}{m}=\frac{m^{4}-16m^{3}+96m^{2}-256m+256+4}{m}=m^{3}-16m^{2}+96m-256+\frac{260}{m}\). Lai abu daļu vērtības būtu veseli skaitļi, tad skaitlim \(k=n+3\) jābūt \(24\) dalītājam un atbilstošajam skaitlim \(m=n+4\) jābūt \(260\) dalītājam. Derīgās \(n+3\) vērtības apkopotas tabulas otrajā kolonnā: | \(n\) | \(n+3\) | \(n+4\) | | ---- | ---- | ---- | | \(-27\) | \(-24\) | \(-23\) | | \(-15\) | \(-12\) | \(-11\) | | \(-11\) | \(-8\) | \(-7\) | | \(\mathbf{-9}\) | \(-6\) | \(\colorbox{lightgray}{-5}\) | | \(-7\) | \(-4\) | \(-3\) | | \(\mathbf{-6}\) | \(-3\) | \(\colorbox{lightgray}{-2}\) | | \(\mathbf{-5}\) | \(-2\) | \(\colorbox{lightgray}{-1}\) | | \(-4\) | \(-1\) | \(0\) | | \(-2\) | \(1\) | \(\colorbox{lightgray}{2}\) | | \(-1\) | \(2\) | \(3\) | | \(\mathbf{0}\) | \(3\) | \(\colorbox{lightgray}{4}\) | | \(\mathbf{1}\) | \(4\) | \(\colorbox{lightgray}{5}\) | | \(3\) | \(6\) | \(7\) | | \(5\) | \(8\) | \(9\) | | \(\mathbf{9}\) | \(12\) | \(\colorbox{lightgray}{13}\) | | \(21\) | \(24\) | \(25\) | No skaitļu \(n+4\) vērtībām ietonētās ir skaitļa \(260\) dalītāji. Tātad meklētās \(n\) vērtības ir \(-9,\ -6,\ -5,\ -2,\ 0,\ 1,\ 9\).