Atrisinājums

Apskatīsim Fibonači virknes locekļu atlikumus, dalot ar \(3\). Tad iegūstam virkni \(\underline{1,1,2,0,2,2,1,0,}1,1,2, \ldots\)

Atlikumu virkne ir periodiska (periods ir pasvītrots). Tātad virknē ir bezgalīgi daudz skaitļu, kas ir dod atlikumu \(2\), dalot ar \(3\).

Taču naturāla skaitļa kvadrāts, dalot ar \(3\), var dot atlikumu tikai \(0\) vai \(1\):

• ja \(n=3k \Rightarrow n^{2}=9k^{2}=3 \cdot 3k^{2}+0\)
• ja \(n=3k+1 \Rightarrow n^{2}=9k^{2}+6k+1=3 \cdot\left(3k^{2}+2k\right)+1\)
• ja \(n=3k+2 \Rightarrow n^{2}=9k^{2}+12k+4=3 \cdot\left(3k^{2}+4k+1\right)+1\)

Tātad Fibonači virknē ir bezgalīgi daudz skaitļu (tie, kas dod atlikumu \(2\), dalot ar \(3\)), kas nav naturāla skaitļa kvadrāts.