Pierādīt, ka vienādojumam \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2}\) nav atrisinājuma naturālos skaitļos.
Pārveidosim doto vienādojumu:
\[\frac{a+b}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{a^{2}+b^{2}}=\frac{ab-2(a+b)}{2ab} \Rightarrow\left(a^{2}+b^{2}\right)(ab-2(a+b))=2ab\]
Lai vienādojumam būtu atrisinājums naturālos skaitļos, nepieciešams, lai \(ab-2(a+b) \geq 1\). Tad \(a^{2}+b^{2} \leq 2ab\) un \((a-b)^{2} \leq 0\). Tas iespējams tikai tad, ja \(a=b\). Tādā gadījumā \(\frac{2}{a}+\frac{1}{2a^{2}}=\frac{1}{2}\), tāpēc \(a \geq 5\). Bet tādā gadījumā \(\frac{2}{a}+\frac{1}{2a^{2}} \leq \frac{2}{5}+\frac{1}{50}=\frac{21}{50} < \frac{1}{2}\), tāpēc vienādojumam atrisinājuma naturālos skaitļos nav.