Dota naturālu skaitļu virkne \(\left\{a_{i}\right\}\), kur \(a_{1}=5\) un katram \(n>1\ a_{n}=a_{1} a_{2} \ldots a_{n-1}+4\). Pierādīt, ka visiem \(n \geq 1\) ir spēkā sakarība \(a_{n}-\sqrt{a_{n+1}}=2\).
Ievērosim, ka \(a_{n}\) ir augoša skaitļu virkne un visi tās locekļi ir lielāki vai vienādi ar \(5\).
\[\begin{gathered} a_{n}=a_{1}a_{2} \ldots a_{n-1}+4 \\ \left(a_{n}\right)^{2}=a_{1}a_{2} \ldots a_{n-1}a_{n}+4a_{n} \\ \left(a_{n}\right)^{2}-4a_{n}+4=a_{1}a_{2} \ldots a_{n-1}a_{n}+4 \\ \left(a_{n}-2\right)^{2}=a_{n+1} \end{gathered}\]
Tā kā \(a_{n}-2>0\) visām \(n\) vērtībām, varam vilkt kvadrātsakni no abām vienādojuma pusēm. \(a_{n}-2=\sqrt{a_{n+1}}\) jeb \(a_{n}-\sqrt{a_{n+1}}=2\) visiem \(n>1\). Atliek pārbaudīt gadījumu, ka \(n=1:a_{1}=5,\ a_{2}=5+4=9,\ a_{1}-\sqrt{a_{2}}=5-\sqrt{9}=2\). Tātad sakarība ir spēkā visiem \(n \geq 1\).