Par Fibonači skaitļu virkni sauc virkni \(F_{1}=1; F_{2}=1; F_{i+2}=F_{i}+F_{i+1}\) pie \(i \geq 1\). Pierādīt, ka katram naturālam skaitlim \(n\) Fibonači skaitļu virknē ir tāds virknes loceklis, kas dalās ar \(n\).
Katram naturālam \(n\) aplūkosim virkni \(\left\{G_{i}\right\} i \geq 1\), kur \(G_{i}\) ir atlikums, ko iegūst \(F_{i}\) dalot ar \(n\). Ja \(n=1\), tad katrs Fibonači virknes loceklis dalās ar \(n\).
Ja \(n > 1\), tad \(F_{1}\) un \(F_{2}\) atlikums, dalot ar \(n\), ir \(1\), tātad \(G_{1}=G_{2}=1\).
Aplūkosim virknes \(G\) īpašības:
1) Virkne \(\left\{G_{i}\right\}\) ir periodiska, jo katrai fiksētai \(n\) vērtībai virknes \(\left\{G_{i}\right\}\) elementi var pieņemt vērtības no \(0\) līdz \(n-1\), tātad divu secīgu elementu pāris var pieņemt \(n^{2}\) dažādas vērtības. Tā kā virkne ir bezgalīga, tad kāds no pāriem atkārtosies, un tā kā divi secīgi virknes \(\left\{G_{i}\right\}\) elementi viennozīmīgi nosaka visus tālākos virknes elementus, tad virkne \(\left\{G_{i}\right\}\) būs periodiska.
2) Tā kā no katriem diviem Fibonači virknes locekļiem viennozīmīgi var iegūt visus iepriekšējos ( \(F_{i-2}=F_{i}-F_{i-1}, i \geq 3\) ), arī no katriem diviem secīgiem virknes \(\left\{G_{i}\right\}\) elementiem viennozīmīgi var atjaunot iepriekšējos elementus, tāpēc virknei \(\left\{G_{i}\right\}\) nav priekšperioda.
No 1) un 2) seko, ka virknē \(\left\{G_{i}\right\}\) noteikti ir tāds \(k\), ka \(G_{k}=G_{k+1}=1\), \(k > 2\), tad \(G_{k-1}=0\). Tātad eksistē tāds Fibonači virknes loceklis \(F_{k-1}\), kas dalās ar \(n\).