Atrisinājums

Tā kā \(2 \cdot(3a+2b)^{2}-(4a+3b)^{2}=2a^{2}-b^{2}\), tad katram naturālam \(n\) pastāv vienādība

\[2 \cdot x_{n}^{2}-y_{n}^{2}=2 \cdot 3^{2}-4^{2}=2\]

Lai uzdevums būtu atrisināts, jāpierāda, ka vienādojumam \(2x^{2}-z^{6}=2\) nav atrisinājuma naturālos skaitļos (te \(y=z^{3}\)). Ja \(2x^{2}-z^{6}=2\), tad \(z=2t\) un \(2x^{2}-64t^{6}=2,\ x^{2}-32t^{6}=1\), no kurienes \(\frac{x-1}{2} \cdot \frac{x+1}{2}=(2t)^{3}\). Skaidrs, ka \(x\) jābūt nepāra skaitlim. Apzīmējot \(\frac{x-1}{2}=u\), iegūstam \(u(u+1)=(2t)^{3}\). Tā kā \(LKD(u, u+1)=1\), gan \(u\), gan \(u+1\) jābūt naturālu skaitļu kubiem. Bet nav tādu divu naturālu skaitļu kubu, kuru starpība ir \(1\).